\chapter{Mathematische Formeln}
\label{sec:maths}

Mathematische Formeln können nur im sogenannten Mathmode gesetzt werden, der innerhalb einer Zeile (auch als inline bekannt) durch zwei Dollarzeichen aktiviert wird.
Außerdem gibt es eine Blockumgebung (vgl. \cref{lst:sample-math-environment}).
Wichtige Pakete für mathematische Zeichen sind \mintinline{latex}{amsmath}, \mintinline{latex}{amsthm} und \mintinline{latex}{amssymb} der American Mathematical Society sowie \mintinline{latex}{mathtools}.
Wie bei allen Umgebungen kann durch Angabe eines Asterisks (\textasteriskcentered) die Nummerierung der Gleichungen ausgeschaltet werden.

\example{lst:sample-math-environment}{maths/sample-math-environment}{Beispielhafte Matheumgebungen}

\section{Einige Beispiele}
%Die \cref{tbl:maths-common-commands,tbl:maths-logic-sets-braces} listen einige häufig in Formeln verwendeten Befehle auf.

\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{ll}
  \toprule
  Quelltext & Ergebnis \\ \midrule
  \mintinline{latex}{\sqrt{16}} & $\sqrt{16}$ \\
  \mintinline{latex}{\frac{3}{4}} & $\frac{3}{4}$ \\
  \mintinline{latex}{e^{\pi}} & $e^{\pi}$ \\
  \mintinline{latex}{\sum_{i=1}\^{n}x^2} & $\sum_{i=1}^{n}x^2$ \\
  \mintinline{latex}{12 \leq 4 x^2 + 13} & $12 \leq 4 x^2 + 13$ \\
  \mintinline{latex}{{n \choose k}} & ${n \choose k}$ \\
  \bottomrule
  \end{tabular}
  \caption{Häufig verwendete Befehle (Wurzel, Bruch, Exponent, Summe, Vergleichszeichen, Binomialkoeffizient). Durch \mintinline{latex}{^{…}} und \mintinline{latex}{_{…}} werden die Inhalte in den Klammern hoch- oder tiefgestellt.}
  \label{tbl:maths-common-commands}
\end{table}

\begin{table}[H]
  \widebox{
    \centering
    \begin{tabular}{ll}
    \toprule
    Quelltext & Ergebnis \\ \midrule
    \mintinline{latex}{(x), [x], \lbrace x \rbrace, \lvert x \rvert} & $(x), [x], \lbrace x\rbrace, \lvert x\rvert$\\
    \mintinline{latex}{\exists,\forall,\in,\notin,\infty} & $\exists,\forall,\in,\notin,\infty$ \\
    \mintinline{latex}{\alpha, \beta, \Gamma, \Delta, \varepsilon, \pi} & $\alpha, \beta, \Gamma, \Delta, \varepsilon, \pi$ \\
    \mintinline{latex}{\rightarrow, \leftarrow, \Rightarrow, \Leftarrow, \Leftrightarrow} & $\rightarrow, \leftarrow, \Rightarrow, \Leftarrow, \Leftrightarrow$ \\
    \mintinline{latex}{(A \cup B) \cap C} & $(A \cup B) \cap C$ \\
    \mintinline{latex}{(A \lor B) \land C} & $(A \lor B) \land C$ \\
    \mintinline{latex}{(A \cdot B) \times C} & $(A \cdot B) \times C$ \\ \bottomrule
    \end{tabular}
    \caption{Klammerungen, Quantoren, griechische Buchstaben, Pfeile, Operatoren}
    \label{tbl:maths-logic-sets-braces}
  }
\end{table}

\section{Mitwachsende Klammern}

Im Zusammenspiel mit Brüchen kommt es vor, dass Klammern mit ihrem Inhalt wachsen sollen.
Hierfür muss dem Befehl zum Erzeugen der Klammern (\mintinline{latex}{(}, \mintinline{latex}{)}, \mintinline{latex}{[}, \mintinline{latex}{]}, \mintinline{latex}{\lbrace} und \mintinline{latex}{\rbrace}) jeweils ein Positionsmarker (\mintinline{latex}{\left} oder \mintinline{latex}{\right}) vorangestellt werden.

\example{lst:growing-brackets}{maths/growing-brackets}{Beispiel für mitwachsende Klammern}

\section{Darstellung von Grenzen}

Mit dem Befehl \mintinline{latex}{\limits} lassen sich die Grenzen von Integralen unter und über dem Integralzeichen darstellen.
Bei Summen, Produkten und Grenzwerten geschieht das automatisch (vgl. \cref{lst:limits}).
Im Fließtext eignet sich \mintinline{latex}{\limits} nur bedingt.

\example{lst:limits}{maths/limits}{Grenzen von Summen, Produkten, Grenzwerten und Integralen}

\section{Ausrichtung mehrerer Gleichungen}

Die Umgebung \mintinline{latex}{align} erlaubt es, Gleichungen zum Beispiel am \texttt{=}-Zeichen auszurichten (vgl. \cref{lst:math-alignment-example}).
Ausgerichtet wird dabei analog zu Tabellen am \texttt{\&}-Zeichen.
Zeilenumbrüche werden durch zwei Backslashes markiert.

\Example{lst:math-alignment-example}{maths/align-example}{maths/align-example_crop}{Am Gleichheitszeichen ausgerichtete Gleichungen}

\section{Mengenschreibweise}

Manchmal ist es notwendig, im Zusammenhang mit der Mengenschreibweise Prädikate unter Verwendung von textuellen Beschreibungen oder längeren Funktionsnamen zu definieren.
Im Mathmode wird die Zeichensetzung von \LaTeX{} nicht auf Fließtext, sondern auf Formeln ausgerichtet, was zu ungünstigen Anordnungen zusammenhängender Buchstabenketten führt.
Für diesen Fall gibt es den Befehl \mintinline{latex}{\mathrm{}} (\enquote{math roman}, vgl. \cref{lst:set-builder-notation}).

\example{lst:set-builder-notation}{maths/set-builder-notation}{Probleme in der Mengenschreibweise und ihre Lösung}