@slide(layout=chapter-slide)

@number
8

@title
Mathematische Formeln

@slide(layout=content-and-preview)

@title
Formel-Umgebungen 🧮

@content
``` {.lang-tex .hljs}
$2 \sqrt{\frac{\pi^2}{3} \cdot c_2}$
```

Mathematische Formeln können **nur im sogenannten Mathmode** gesetzt werden, der inline durch zwei Dollarzeichen aktiviert wird. Außerdem gibt es eine Blockumgebung:

``` {.lang-tex .hljs}
\begin{equation}
  2 \sqrt{\frac{\pi^2}{3} \cdot c_2}
\end{equation}
```

Pakete: `amsmath`, `amsthm`, `amssymb`, `mathtools`

@preview
![](svg/chapter-09/simple-maths-crop.svg)

@slide(layout=content-only)

@title
Einige Beispiele

@content
<table>
  <tr>
    <th>Quelltext</th>
    <th>Ergebnis</th>
  </tr>
  <tr class="fragment">
    <td>`\sum_{i=1}^{n}x^2`</td>
    <td>$\sum_{i=1}^{n} x^2$</td>
  </tr>
  <tr class="fragment">
    <td>`12 \leq 4 x^2 + 13`</td>
    <td>$12 \leq 4 x^2 + 13$</td>
  </tr>
  <tr class="fragment">
    <td>`{n \choose k}`</td>
    <td>${n \choose k}$</td>
  </tr>
</table>


@slide(layout=content-and-preview)

@title
Ausrichtung von mehreren Gleichungen

@content
Die Umgebung `align` erlaubt es, Gleichungen zum Beispiel am ›&hairsp;=&hairsp;‹ auszurichten.

``` {.lang-tex .hljs}
\begin{align}
  13 \cdot (4a - 3)^2 &= 13 … \\
      &= 208a^2 - 312a + 117
\end{align}
```

* ++ Ausgerichtet wird am ›`&`‹-Zeichen.
* ++ Zeilenumbrüche werden mit ›`\\`‹ markiert.
* ++ Die Nummerierung kann bei `align` und `equation` durch durch ein Sternchen nach dem Umgebungsnamen (z.&thinsp;B. `\begin{align*}` und `\end{align*}`) unterdrückt werden.

@preview
![](svg/chapter-09/alignment-crop.svg)


@slide(layout=task-without-number)

@task-number
8a

@title
Formeln setzen

@content
Setzt die folgenden Formeln in der Datei `exercises/maths/math-formulas.tex`.

| Bedeutung | Ergebnis |
|-----------|----------|
| Fallbeschleunigung (Deutschland) | $9,81\,\frac{m}{s^2}$  |
| pq-Formel | $x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$ |
| Mitternachtsformel | $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ |
| Catalansche Zahlen | $C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$ |

@slide(layout=task-without-number)

@task-number
8b

@title
Formeln setzen

@content
Setzt die folgenden Formeln in der Datei `exercises/maths/math-formulas.tex`.

| Bedeutung | Ergebnis |
|-----------|----------|
| Definition der Fakultät | $n! = \prod_{i=1}^{n} i$ |
| Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen | $\{ x \mid x \in \mathbb{N}, \mathrm{ungerade}(x) \}$ |
| Elimination $\neg\exists x$ | $\neg\exists x . p(x) \Leftrightarrow \forall x . \neg p(x)$ |



@slide(layout=extra-content-only)

@title
Weitere Beispiele

@content
<table>
  <tr>
    <th>Quelltext</th>
    <th>Ergebnis</th>
  </tr>
  <tr>
    <td>`(x)`, `[x]`, `\lbrace x \rbrace`, `\lvert x \rvert`</td>
    <td>$(x), [x], \lbrace x\rbrace, \lvert x\rvert$</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>`\exists`, `\forall`, `\in`, <br />`\notin`, `\infty`</td>
    <td>$\exists,\forall,\in,\notin,\infty$</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>`\alpha`, `\beta`, `\Gamma`, <br />`\Delta`, `\varepsilon`, `\pi`</td>
    <td>$\alpha, \beta, \Gamma, \Delta, \varepsilon, \pi$</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>`\rightarrow`, `\leftarrow`, `\Rightarrow`, `\Leftarrow`, `\Leftrightarrow`</td>
    <td>$\rightarrow, \leftarrow, \Rightarrow, \Leftarrow, \Leftrightarrow$</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>`(A \cup B) \cap C`</td>
    <td>$(A \cup B) \cap C$</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>`(A \lor B) \land C`</td>
    <td>$(A \lor B) \land C$</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>`(A \cdot B) \times C`</td>
    <td>$(A \cdot B) \times C$</td>
  </tr>
</table>

@slide(layout=extra-content-only)

@title
Mitwachsende Klammern

@content
<table>
  <tr>
    <th>Quelltext</th>
    <th>Ergebnis</th>
  </tr>
  <tr>
    <td>`\left( \frac{1}{2} \right)`</td>
    <td>$\left( \frac{1}{2} \right)$</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>`\left[ \frac{1}{2} \right]`</td>
    <td>$\left[ \frac{1}{2} \right]$</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>`\left\lbrace \frac{1}{2} \right\rbrace`</td>
    <td>$\left\lbrace \frac{1}{2} \right\rbrace$</td>
  </tr>
</table>


``` {.lang-tex .hljs}
$4 \cdot \left( \frac{1}{2} % …
```

<p style="text-align: center;">$4 \cdot \left(\frac{1}{2} +\frac{3}{ 12 \cdot \left( 2 + \frac{1}{86 \cdot \left(\frac{1}{2} + 24 \right)} \right)} \right)$</p>


@slide(layout=extra-content-and-preview)

@title
Darstellung von Grenzen

@content
Mit dem Befehl `\limits` lassen sich die Grenzen von Integralen unter und über dem Integralzeichen darstellen. Bei Summen, Produkten und Grenzwerten geschieht das automatisch.

``` {.lang-tex .hljs}
\sum_{i=1}^{n^2}(x+2)
\prod_{j=1}^{100}(3 \cdot x)
\lim_{x \rightarrow \infty}(14x^3 - 12)
\int\limits_{-12}^{4}(14x^3 - 12)
```

<p data-category="Achtung!">Der Einsatz von `\limits` sollte im Fließtext vermieden werden.</p>

@preview
![](svg/chapter-09/limits-crop.svg)


@slide(layout=extra-content-only)

@title
Mengenschreibweise

@content
Manchmal ist es notwendig, im Zusammenhang mit der Mengenschreibweise Prädikate unter Verwendung von textuellen Beschreibungen oder längeren Funktionsnamen zu definieren.

Für diesen Fall gibt es den Befehl `\mathrm{}`.

<p style="text-align: center;">$\left\lbrace x \mid tiefe(x) \geq 20\right\rbrace$</p>
<p style="text-align: center;">$\left\lbrace x \mid \mathrm{tiefe}(x) \geq 20\right\rbrace$</p>

``` {.lang-tex .hljs}
$\left\lbrace x \mid \mathrm{tiefe}(x) …
```