\input{../settings/settings}

% Mathematik
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% Referenzen
\usepackage{hyperref}

\begin{document}

  \klausur{KTR-MfI2-B Mathematik für Informatik 2}
          {Prof. Dr. U. Krieger}
          {Sommersemester 17}
          {90}
          {Taschenrechner, zwei von Hand geschriebene DIN-A4-Seiten}

  % Aufgabe 1
  \section{Lineare Gleichungssysteme und Matlab/Octave (8 + 12 Punkte)}

  \begin{enumerate}
    % Aufgabe 1.1
    \item \begin{enumerate}
      \item Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:

      \begin{align}
      x_1  +        x_3  = 1 \\
      2x_1 + x_2         = 0 \\
      4x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 2
      \end{align}

      Geben Sie eine Darstellung in der Form eines Matrix-Vektor-Produkts $A \cdot x = b$ mithilfe einer geeigneten Koeffizientenmatrix $A$, des Vektors $x$ der Variablen sowie der rechten Seite $b$ des Gleichungssystems an.

      % Aufgabe 1.1a
      \item Berechnen Sie die Lösung $x = (\begin{array}{ccc}x_1 & x_2 & x_3\end{array}) \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$. Wandeln Sie hierzu das System $(\begin{array}{cc}A & b\end{array})$ in Treppennormalform um und ermitteln Sie anschließend die Lösung mithilfe des Gaußschen Algorithmus.

      % Aufgabe 1.1b
      \item Ist das inhomogene lineare System $A \cdot x = b$ eindeutig lösbar? Begründen Sie.
    \end{enumerate}

    % Aufgabe 1.2
    \item Wir betrachten den gerichteten Graphen $G = (V, E)$ des Google-Rangbildungsverfahrens. Dabei sei $V = \{ 1,2,3,4 \}$ die Menge der Knoten (Webseiten) und $E \subset V \times V$ die Menge der Kanten (Webseitenverknüpfungen durch Hyperlinks). Betrachten Sie hierzu Abbildung~\ref{fig:googlePagerank}.

    $e^t = (1,1,1,1) \in \mathbb{R}^{1 \times 4}$ sei ein Zeilenvektor aus Einsen und $0_4 = (0,0,0,0)^t \in \mathbb{R}^{4 \times 1}$ sei ein Spaltenvektor aus Nullen.

    $x = (x_1, x_2, x_3, x_4)^t \in \mathbb{R}^{4 \times 1}$ ist der Spaltenvektor des Rangwertes $x_i \in [0,1]$ der Seiten $i \in V$.

    \begin{enumerate}
      % Aufgabe 1.2a
      \item Betrachten Sie den Graphen $G$ in Abbildung~\ref{fig:googlePagerank}. Geben Sie die stochastische Matrix $P \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ an, welche auf Basis der gewichteten Adjenzmatrix des Graphen $G$ bei der Berechnung des Google-Rangbildungsverfahrens verwendet wird.

      \begin{figure}[h]
        \centering
        \includegraphics[width=4cm]{./img/google-pagerank.pdf}
        \caption{Graph einer Google-Seitenrangbildung}
        \label{fig:googlePagerank}
      \end{figure}

      % Aufgabe 1.2b
      \item Geben Sie den Code eines Matlab/Octave-Programms an, mit dessen Hilfe diese soeben erzeugte Matrix $P$ dargestellt wird.

      % Aufgabe 1.2c
      \item Betrachten Sie das zum Rangbildungsverfahren gehörende lineare Gleichungssystem

      \begin{equation}
      A \cdot x = b
      \label{eq:lgs}
      \end{equation}

      und geben Sie ein Codesegment an, das sowohl die Systemmatrix $A$ mit der folgenden $2 \times 1$-Blockmatrixstruktur

      \begin{equation}
      A = \left( \begin{array}{c} A_{11}    \\ A_{21} \end{array} \right)
        = \left( \begin{array}{c} I_4 - P^t \\ e^t    \end{array} \right)
          \in \mathbb{R}^{5 \times 4},
      \end{equation}

      als auch die rechte Seite

      \begin{equation}
      b = \left( \begin{array}{c} 0_4 \\ 1 \end{array} \right)
          \in \mathbb{R}^{5 \times 1}
      \end{equation}

      von \eqref{eq:lgs} in Matlab/Octave-Syntax wiedergibt.

      % Aufgabe 1.2d
      \item Benennen Sie eine Matlab/Octave-Funktion, welche durch die Anwendung des Gaußalgorithmus die Treppennormalform der erweiterten Systemmatrix $(\begin{array}{cc}A & b\end{array})$ berechnet.

      % Aufgabe 1.2e
      \item Geben Sie einen Matlab/Octave-Funktionsanruf am, mit dem die Lösung $x \in \mathbb{R}^4$ des linearen Systems \eqref{eq:lgs} in Matlab/Octave berechnet werden kann.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}

  % Aufgabe 2
  \section{Vektorräume (5 + 7 + 8 Punkte)}

  \begin{enumerate}

    % Aufgabe 2.1
    \item Betrachten Sie die Vektoren

    \begin{equation}
    a = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right),
    b = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right),
    c = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right),
    \end{equation}

    des $\mathbb{F}_2$-Vektorraums $\mathbb{F}_2^3$ auf dem Körper der binären Elemente $\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$. Dieser enthält die Operationen $\{\oplus, \odot\}$, definiert als
    $\forall x,y \in \mathbb{F}_2.
      x \oplus y = (x + y)    ~\mathrm{mod}~2,
      x \odot  y = (x \cdot y)~\mathrm{mod}~2$.

    Sind diese drei Vektoren $\{a, b, c\} \subset \mathbb{F}_2^3$ linear unabhängig oder linear abhängig? Begründen Sie Ihre Antwort durch geeignete algebraische Argumente.

    % Aufgabe 2.2
    \item Betrachten Sie die Monome $e_1(x) = 1$, $e_2(x) = x$ als Elemente des Vektorraums

    \begin{equation}
    V = \mathbb{Q}_2[x]
      = \{p:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q},
        x \mapsto p(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2~|~b_0, b_1, b_2 \in \mathbb{Q}\}
    \end{equation}

    der Polynome mit maximalem Grad 2 über dem Körper $\mathbb{K} = \mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen. Als Grundoperation stehen in $V$ die punktweise Addition und die Skalarmultiplikation zur Verfügung:

    \begin{align}
    (p + q)(x) &= p(x) + q(x)
      ~&\mathrm{mit}~x \in \mathbb{Q}, p(x), q(x) \in V \\
    (\lambda \cdot p)(x) &= (\lambda \cdot b_0) + (\lambda \cdot b_1)x + (\lambda \cdot b_2)x^2
      ~&\mathrm{mit}~x, \lambda \in \mathbb{Q}, p(x) \in V
    \end{align}

    \begin{enumerate}
      % Aufgabe 2.2a
      \item Sind die Polynome $v_1 = e_1(x)$ und $v_2 = e_2(x)$ linear abhängige oder linear unabhängige Elemente $v_1, v_2$ des $\mathbb{Q}$-Vektorraums $V = \mathbb{Q}_2[x]$? Begründen Sie Ihre Antwort durch algebraische Argumente.

      %Aufgabe 2.2b
      \item Geben Sie einen Untervektorraum $U_1 \subset V$ von $V$ der Dimension $1$ an.
    \end{enumerate}

    % Aufgabe 2.3
    \item Weisen Sie durch eine geeignete algebraische Argumentation nach, dass die Menge

    \begin{equation}
    U = \{ v = \left( \begin{array}{c}
    x \\
    y \\
    z
    \end{array} \right) \in \mathbb{R}^3 ~|~ y - z = 0 \} \subset \mathbb{R}^3
    \end{equation}

    ein Untervektorraum des reellen Vektorraums $V = \mathbb{R}^3$ ist.
  \end{enumerate}

  % Aufgabe 3
  \section{Lineare Abbildungen (6 + 6 + 4 + 4 Punkte)}

  Betrachten Sie die lineare Abbildung

  \begin{align}
  f : V &\rightarrow W \\
  v     = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &\mapsto
  f(v)  = \left( \begin{array}{c} x \\ 2 \cdot (x + z) \\ 2 \cdot x + z \end{array} \right)
  \end{align}

  zwischen den $\mathbb{R}$-Vektorräumen $V = \mathbb{R}^3$ und $W = \mathbb{R}^3$.

  \begin{enumerate}
  	% Aufgabe 3.1
  	\item Wählen Sie die kanonische Basis $\mathcal{B} = \{ e_1, e_2, e_3 \}$ im $\mathbb{R}$-Vektorraum $V = \mathbb{R}^3$ bzw. $W = \mathbb{R}^3$ aus und geben Sie die der Abbildung $f$ zugeordnete Matrix $A_f$ bzgl. dieser beiden Basen an.

  	% Aufgabe 3.2
  	\item Bestimmen Sie mithilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation oder eines geeigneten Berechnungsverfahrens den Rang $rg(f)$ der Abbildung $f$.

	  % Aufgabe 3.3
  	\item Bestimmen Sie mithilfe einer geeigneten Formel, die Sie explizit angeben sollen, die Dimension $k = \mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(f))$ des Kerns $\mathrm{Ker}(f)$ der Abbildung $f$.

  	% Aufgabe 3.4
  	\item Geben Sie eine Basis $\mathcal{C} = \{v_1,...,v_k\}$ des Kerns $\mathrm{Ker}(f)$ der Abbildung $f$ an.
  \end{enumerate}

  % Aufgabe 4
  \section{Gruppentheorie und Matrizenalgebra (8 + 6 + 6 Punkte)}

  \begin{enumerate}
  	% Aufgabe 4.1
  	\item Wir betrachten die Einheitengruppe $E(\mathbb{Z}) = \{1, -1\}$, die aus dem Monoid $(\mathbb{Z}, \cdot, 1)$ der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ bei Verwendung der Multiplikation $\cdot$ als Grundoperation hervorgeht. Dann definiert die komponentenweise Multiplikation auf $(\mathbb{Z}, \cdot)$ in der Form

  	\begin{equation}
  	x \otimes y = (a, b) \otimes (c, d)
  				      = (a \cdot c, b \cdot d)
                  ~\mathrm{mit}~
  	          x = (a, b),
              y = (c, d) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}
  	\end{equation}

  	eine neue Multiplikationsoperation $\otimes$ auf dem Produktmonoid $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, \otimes, e)$ und

  	\begin{equation}
  	G = E(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})
      = \{(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)\}
  	\end{equation}

  	wird zur Einheitengruppe.

  	\begin{enumerate}
  		% Aufgabe 4.1.1
  		\item Ergänzen Sie die folgende Verknüpfungstabelle der Teilmenge $U = \{g_1, g_2\} = \{ (1, 1), (1, -1) \} \subset G$, die sich bei der Multiplikation $z_{i,j} = g_i \otimes g_j \in G = E(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})$ der Elemente $g_i, g_j, i, j \in \{1,2\}$ ergeben:

  		\begin{center}
  		\begin{tabular}{|c|c|c|}                              \hline
  		$\otimes$       & $g_2 = (1, 1)$ & $g_2 = (1, -1)$ \\	\hline
  		$g_1 = (1, 1)$  &                &                 \\	\hline
  		$g_1 = (1, -1)$ &                &                 \\	\hline
  		\end{tabular}
  		\end{center}

  		% Aufgabe 4.1.2
  		\item Wie lautet das inverse Element $g^{-1}_2$ zu $g_2 = (1, -1)$?

  		% Aufgabe 4.1.3
  		\item Um welche algebraische Teilstruktur der Gruppe $(G, \otimes)$ handelt es sich bei $(U, \otimes)$?
  	\end{enumerate}

  	% Aufgabe 4.2
  	\item Es sei $A = \left( \begin{array}{cc}
  	2 & 1   \\
  	3 & -10
  	\end{array} \right), B = \left( \begin{array}{ccc}
  	4 &  1 & 0 \\
  	5 & -2 & 1
  	\end{array} \right)$.

  	\begin{enumerate}
  		% Aufgabe 4.2.1
  		\item Berechnen Sie das Element $C_{12}$ der Produktmatrix $C = A \cdot B$.

  		% Aufgabe 4.2.2
  		\item Wie lautet die transponierte Matrix $B^t$ zu $B$?
  	\end{enumerate}

  	% Aufgabe 4.3
  	\item Es sei $A = \left( \begin{array}{ccc}
  	1 & 0 &  1 \\
  	0 & 1 & -2 \\
  	0 & 0 &  1
  	\end{array} \right)$.
    Berechnen Sie die inverse Matrix $C = A^{-1}$ zu $A$.
  \end{enumerate}

  % Aufgabe 5
  \section{Lineare Abbildungs- und Eigenwerttheorie (2 + 8 + 10 Punkte)}
  \begin{enumerate}
  	% Aufgabe 5.1
  	\item Es seien feste Basen in den reellwertigen Vektorräumen $V = \mathbb{R}^k$ und $W = \mathbb{R}^m$ gewählt und

  	\begin{equation}
  	A_f = \left( \begin{array}{ccc}
  	 2 &  4 & - 4 \\
  	-2 & -5 &   8 \\
  	 3 &  6 & -18 \\
  	 0 &  0 &   1
  	\end{array} \right)
  	\end{equation}

  	sei die der linearen Abbildung $f : V \rightarrow W$ zugeordnete Matrix. Geben Sie die Dimensionen $k, m \in \mathbb{N}_0$ der zugrunde liegenden Vektorräume $V^k$ und $W^m$ an.

  	% Aufgabe 5.2
  	\item Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:
  	\begin{equation}
  	A = \left( \begin{array}{ccc}
  	1 & 0 & 2 \\
  	0 & 6 & 0 \\
  	2 & 0 & 2
  	\end{array}  \right),~
  	B = \left( \begin{array}{ccc}
  	6 & 0 & 0 \\
  	5 & 4 & 0 \\
  	3 & 2 & 1
  	\end{array}  \right)
  	\end{equation}

  	% Aufgabe 5.3
  	\item Bestimmen Sie das charakteristische Polynom
    $p(\lambda) = \lambda^3 + p_2\lambda^2 + p_1\lambda + p_0$
    der folgenden Matrix $A$ und berechnen Sie mit dessen Hilfe alle Eigenwerte
    $\lambda_i, i \in \{1, 2, 3\}$ der Matrix.

  	\begin{equation}
  	A = \left( \begin{array}{ccc}
  	0 &  3 & 0 \\
  	4 & -1 & 0 \\
  	0 &  0 & 1
  	\end{array} \right)
  	\end{equation}
  \end{enumerate}
\end{document}