From 09ea49a3e6505f802df1f91298588c7fb16e8727 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Florian Knoch Date: Thu, 2 Aug 2018 21:48:47 +0200 Subject: [PATCH] Fix some errors --- .../SS17 MfI2.tex | 10 +- .../WS17 MfI2.tex | 348 +++++++++--------- 2 files changed, 183 insertions(+), 175 deletions(-) diff --git a/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/SS17 MfI2.tex b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/SS17 MfI2.tex index fac6336..67b2afe 100644 --- a/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/SS17 MfI2.tex +++ b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/SS17 MfI2.tex @@ -11,7 +11,7 @@ \begin{document} - \klausur{KTR-MfI2-B Mathematik für Informatik 2)} + \klausur{KTR-MfI2-B Mathematik für Informatik 2} {Prof. Dr. U. Krieger} {Sommersemester 17} {90} @@ -212,9 +212,9 @@ \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline - $\otimes$ & $g_1 = (1, 1)$ & $g_2 = (1, -1)$ \\ \hline + $\otimes$ & $g_2 = (1, 1)$ & $g_2 = (1, -1)$ \\ \hline $g_1 = (1, 1)$ & & \\ \hline - $g_2 = (1, -1)$ & & \\ \hline + $g_1 = (1, -1)$ & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} @@ -266,7 +266,7 @@ \end{array} \right) \end{equation} - sei die der linearen Abbildung $f : V \rightarrow W$ zugeordnete Matrix. Geben Sie die Dimensionen $k, m \in \mathbb{N}_0$ der zugrunde liegenden Vektorräume $V$ und $W$ an. + sei die der linearen Abbildung $f : V \rightarrow W$ zugeordnete Matrix. Geben Sie die Dimensionen $k, m \in \mathbb{N}_0$ der zugrunde liegenden Vektorräume $V^k$ und $W^m$ an. % Aufgabe 5.2 \item Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen: @@ -275,7 +275,7 @@ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 2 & 0 & 2 - \end{array} \right), + \end{array} \right),~ B = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 0 \\ diff --git a/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/WS17 MfI2.tex b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/WS17 MfI2.tex index b8de04d..cbd64ee 100644 --- a/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/WS17 MfI2.tex +++ b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/WS17 MfI2.tex @@ -5,185 +5,193 @@ \begin{document} -\klausur{KTR-MfI 2} -{Prof. Dr. U. Krieger)} +\klausur{KTR-MfI2-B Mathematik für Informatik 2} +{Prof. Dr. U. Krieger} {Wintersemester 17/18} {90} -{Taschenrechner, 1 Din A4 Seite doppelseitig handbeschrieben} +{Taschenrechner, zwei von Hand geschriebene Din-A4-Seiten} -\begin{enumerate} - \item Aufgabe 1 (8+12 Punkte) Lineare Gleichungssysteme und Matlab/Octave - - Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen in den daf\"ur vorgegebenen Feldern an. - \begin{enumerate} - \item [a)] Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem: - $$\begin{array}{lllllll} - 2x_1 & + & 4x_2 & & & = 0 \\ - & & 2x_2 & + & 2x_3 & = 2 \\ - 2x_1 & + & 4x_2 & + & 4x_3 & = 1 - \end{array}$$ - \begin{enumerate} - \item[1)] Geben Sie eine Darstellung dieses linearen Gleicungssystems in der Form eines Matrix-Vektor-Produkts $$A\cdot x = b$$ mit Hilfe einer geeigneten Koeffizientenmatrix $A$ und dem Vektor $x$ der Variablen sowie der rechten Seite $b$ des Gleicungssystems an. - \item[2)] Berechnen Sie die L\"osung $x = \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3$ durch die \"Uberf\"uhrung des Systems (A~~~b) in Treppennormalform und anschlie{\ss}ende L\"osung unter Verwendung des Gau{\ss}schen Algorithmus. - \end{enumerate} +\section*{Aufgabe 1: Lineare Gleichungssysteme und Matlab/Octave (8 + 12)} - \item [b)] Berechnen Sie da lineare Gleichungssystem - $$L\cdot x = \left( \begin{array}{cccc} - L_{11} & 0 & \dots & 0 \\ - L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\ - \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ - L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn} - \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} - x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n - \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} - b_1 \\b_2\\\vdots\\b_n - \end{array}\right)=b$$ - mit der unteren Dreiecksmatrix - $$L = \left( \begin{array}{cccc} - L_{11} & 0 & \dots & 0 \\ - L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\ - \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ - L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn} - \end{array}\right)\in \mathbb{R}^{n\times n}, n\in\mathbb{N}, n\geq 2$$ - und nehmen Sie an, dass alle Elemente $L_{ii}\neq 0,i=1,\dots,n$, sind. + \begin{enumerate} + \item [a)] Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem: + $$\begin{array}{lllllll} + 2x_1 & + & 4x_2 & & & = 0 \\ + & & 2x_2 & + & 2x_3 & = 2 \\ + 2x_1 & + & 4x_2 & + & 4x_3 & = 1 + \end{array}$$ + \begin{enumerate} + \item[1)] Geben Sie eine Darstellung dieses linearen Gleichungssystems in der Form eines Matrix-Vektor-Produkts $$A\cdot x = b$$ mit Hilfe einer geeigneten Koeffizientenmatrix $A$ und dem Vektor $x$ der Variablen sowie der rechten Seite $b$ des Gleichungssystems an. + \item[2)] Berechnen Sie die L\"osung $x \in \mathbb{R}^3$ durch die \"Uberf\"uhrung des Systems (A~~~b) in Treppennormalform und anschlie{\ss}ende L\"osung unter Verwendung des Gau{\ss}schen Algorithmus. + \end{enumerate} - Der Vektor $x=\left(\begin{array}{c} - x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n - \end{array}\right)$ kann mit Hilfe des folgenden \textit{Forward-Substitution} Algorithmus - \begin{equation} - x_i=\left(b_i-\sum^{i-1}_{j=1}~~L_{ij}\cdot x_j\right)/ L_{ii}, i=1,\dots,n - \end{equation} - bestimmt werden, der sukzessive die Elemente $x_i,i=1,\dots,n,$ berechnet. - \newpage - \begin{enumerate} - \item[1)] Implementieren Sie den \textit{Forward-Substitution} Algorithmus als MATLAB oder Octave Funktion $ForSub(b, L, y)$, die f\"ur eine gegebene rechte Seite $b\in\mathbb{R}^n$ und eine invertierbare untere Dreiecksmatrix $L\in\mathbb{R}^{n\times n}$ der Dimension $ n \in \mathbb{N}, n\geq 2$, mit Diagonalelementen $L_{ii}\neq 0, i=1,\dots,n$, als Eingabeparametern des L\"osungsvektor $x\in\mathbb{R}^n$ in (1) berechnet und diesen w\"ahrend des L\"osungsverfahrens sukzessive in den Speicherplatz des Ausgabevektors $y\in\mathbb{R}^n$ schreibt, nachdem $y$ zu Beginn des Algorithmus mit dem Nullvektor initialisieert wurde. - \item[2)] Schreiben Sie ein MATLAB oder Octave Programm, das diese erstellte MATLAB oder Octave Funktion $ForSub$ zur L\"osung des Gleichungssystems $L \cdot x = b$ mit folgenden Eingangsdaten - $$L=\left(\begin{array}{ccc} - 2 & 0 & 0 \\ - 1 & 5 & 0 \\ - 7 & 9 & 8 - \end{array}\right), b = \left(\begin{array}{c} - 6 \\2\\5 - \end{array}\right)$$ - anwendet und dann den L\"osungsvektor $x$ komponentenweise ausgibt. - \end{enumerate} - \end{enumerate} - \item Aufgabe 2 (6+6+8 Punkte) Vektorr\"aume - Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben zur Theorie der Vektorr\"aume in den daf\"ur vorgesehenen Feldern an. - \begin{enumerate} - \item [a)] Betrachten Sie die Vektoren - $$a=\left(\begin{array}{c} - 0 \\1\\1 - \end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c} - 1 \\1\\1 - \end{array}\right),c=\left(\begin{array}{c} - 1 \\0\\1 - \end{array}\right)$$ - des $\mathbb{F}_2$-Vektorraums $\mathbb{F}^3_2$ auf dem K\"orper deer bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2={0,1}$ mit den Operationen $\{\oplus, \odot\}$ der Addition und Multiplikation modulo 2, d. h. f\"ur $x, y\in\mathbb{F}_2,x\oplus y = (x+y)~mod~2,\\ x \odot y = (x\cdot y)~mod~2$.\\ - Sind diese drei Vektoren $\{a,b,c\}\subset\mathbb{F}^3_2$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort durch geeignete algebraische Argumente. - \item [b)] Betrachten Sie die Matrizen - $$A=\left(\begin{array}{cc} - 0 & 1 \\ - 0 & 1 \\ - \end{array}\right), B= \left(\begin{array}{cc} - 0 & 0 \\ - 1 & 0 - \end{array}\right), C = \left(\begin{array}{cc} - 0 & 1 \\ - 1 & 0 - \end{array}\right)$$ - des Vektorraums $\mathbb{R}^{2\times 2}$.\\ - Sind diese drei Matrizen $\{A,B,C\}\subset\mathbb{R}^{2\times 2}$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation. - \item[c)] Weisen Sie durch eine geeignete algebraische Argumentation nach, dass die Menge - $$U=\{v=\left(\begin{array}{c} - x_1 \\x_2\\x_3 - \end{array}\right)\in \mathbb{R}^{3} | 4x_1+3x_2=0\} \subset \mathbb{R}^3$$ - ein Untervektorraum des reellen Vektorraums $V = \mathbb{R}^3$ ist. - \end{enumerate}\newpage - \item Aufgabe 3 (6+6+4+4 Punkte) Lineare Abbildungen + \item [b)] Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem + $$L\cdot x = \left( \begin{array}{cccc} + L_{11} & 0 & \dots & 0 \\ + L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\ + \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ + L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn} + \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} + x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n + \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} + b_1 \\b_2\\\vdots\\b_n + \end{array}\right)=b$$ + mit der unteren Dreiecksmatrix + $$L = \left( \begin{array}{cccc} + L_{11} & 0 & \dots & 0 \\ + L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\ + \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ + L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn} + \end{array}\right)\in \mathbb{R}^{n\times n}, n\in\mathbb{N}, n\geq 2$$ + und nehmen Sie an, dass gilt: $\forall i \in \{1,2,\dots,n\} : L_{ii}\neq 0$. - Betrachten Sie die lineare Abbildung - $$ f: V \longrightarrow W $$ - $$ v=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)\rightarrow f(v)=\left(\begin{array}{c} y\oplus z \\ x\oplus z \\ x\oplus y \end{array}\right) $$ - zwischen den $\mathbb{F}_2$-Vektorr\"aumen $V=\mathbb{F}^3_2$ und $W=\mathbb{F}^3_2$ \"uber dem K\"orper der bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2 = {0,1}$ mit den Operationen $\{\oplus,\odot\}$ der Addition und Multiplikation modulo 2, d.h. $x\oplus y = (x+y) mod 2, x\odot y = (x\cdot y) mod 2$ f\"ur $x,y\in\mathbb{F}_2$. - \begin{itemize} - \item [a)] W\"ahlen Sie jeweils die kanonische Basis $\mathcal{B} = \{e_1,e_2,e_3\}$ im $\mathbb{F}_2$-Vektorraum $V = \mathbb{F}^3_2$ bzw. $W=\mathbb{F}^3_2$ aus und geben Sie die der Abbildung $f$ zugeordnete Matrix $A_f$ bzgl. dieser beiden Basen an. - \item [b)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation oder eines geeigneten Berechnungsverfahrens den Rang $rg(f)$ der Abbildung $f$. - \item [c)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Formel, die Sie explizit angeben sollen, die Dimension $k=dim(Ker(f))$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$. - \item [d)] Geben Sie eine Basis $\mathcal{C} = \{v_1,\dots,v_k\}$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$ an. - \end{itemize} + Der Vektor $x=\left(\begin{array}{c} + x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n + \end{array}\right)$ kann mit Hilfe des folgenden \textit{Forward-Substitution}-Algorithmus - \item Aufgabe 4 (10+4+6 Punkte) Gruppen- und Matrizenalgebra - \begin{enumerate} - \item [a)] Beantworten Sie folgende Fragen zur Algebra einfacher Gruppen $(G,\oplus,e)$ - \begin{enumerate} - \item [1)] Betrachten Sie die Gruppe $(G,\oplus,e)=(\mathbb{F}^3_2,\oplus,e)$ aller bin\"arer Tupel - $$(a,b)\in\mathbb{F}^3_2 = \{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$$ - mit den Komponenten $a,b\in\mathbb{F}_2= \{ 0,1\}$ und der komponentenweise definierten Addition modulo 2 als Gruppenverkn\"upfung $\oplus$. + \begin{equation} + x_i=\left(b_i-\sum^{i-1}_{j=1}~~L_{ij}\cdot x_j\right)/ L_{ii}~\mathrm{mit}~i \in \{1, 2, \dots, n\} + \end{equation} - Geben Sie das neutrale Element $e\in G$ an und berechnen Sie f\"ur $f=(1,0), g=(0,1),h=(1,1)$ die folgenden Gruppenelemente $k,l\in G$ + bestimmt werden, der sukzessive die Elemente $x_i$ mit $i \in \{1, 2, \dots, n \}$ berechnet. + \newpage + \begin{enumerate} + \item[1)] Implementieren Sie den \textit{Forward-Substitution}-Algorithmus als MATLAB- oder Octave-Funktion \texttt{ForSub(b, L, y)}, die f\"ur eine gegebene rechte Seite $b\in\mathbb{R}^n$ und eine invertierbare untere Dreiecksmatrix $L\in\mathbb{R}^{n\times n}$ der Dimension $ n \in \mathbb{N}, n\geq 2$, mit Diagonalelementen $L_{ii}\neq 0$ ($i \in \{ 1, 2, \dots, n \}$) als Eingabeparametern den L\"osungsvektor $x\in\mathbb{R}^n$ in (1) berechnet und diesen w\"ahrend des L\"osungsverfahrens sukzessive in den Speicherplatz des Ausgabevektors $y\in\mathbb{R}^n$ schreibt, nachdem $y$ zu Beginn des Algorithmus mit dem Nullvektor initialisiert wurde. + \item[2)] Schreiben Sie ein MATLAB- oder Octave-Programm, das diese erstellte MATLAB- oder Octave-Funktion \texttt{ForSub} zur L\"osung des Gleichungssystems $L \cdot x = b$ mit folgenden Eingangsdaten anwendet und dann den L\"osungsvektor $x$ komponentenweise ausgibt: - $$k = g \oplus f = $$ - $$l = g \oplus h = $$ - $$e = $$ + $$L=\left(\begin{array}{ccc} + 2 & 0 & 0 \\ + 1 & 5 & 0 \\ + 7 & 9 & 8 + \end{array}\right),~b = \left(\begin{array}{c} + 6 \\2\\5 + \end{array}\right)$$ - \item[2)] Definiert die Teilmenge - $$U=\{(0,0),(1,0),(0,1)\}\subset \mathbb{F}^2_2=G$$ - der Untergruppe von $(\mathbb{F}^2_2,\oplus,e)$? Geben Sie eine algebraische Begr\"undung an. - \item[3)] Die aus drei verschiedenen Elementen besthende Menge $G={e,a,h}$ mit der additiven Verkn\"upfung $z=x\oplus y \in G $ auf zwei Gruppenelementen $x,y \in G$ kann durch eine entsprechende Verkn\"upfungstabelle T beschrieben werden (siehe unten), z.B. ergibt sich aus der Additon der Elemente $x = b$ in der 5. Zeile und $y=a$ in der 4. Spalte das Element - $$z=x\oplus y = b \oplus a = e$$ - Erg\"anzen Sie die fehlenden Elemente der 5. Zeile hinter $x=b$ und der 5. Spalte unterhalb von $y=b$ in der Verkn\"upfungstabelle $T$ sowie das fehlende Element der 5. Zeile und 3. Spalte f\"ur $x=b$ und $y=e$ derart, dass $T$ eine kommutative Gruppe $(G,\oplus,e)$ definiert. - - \begin{tabular}{|c|c||c|c|c|}\hline - $\oplus$ & \multicolumn{4}{|c|}{}\\\hline - &y= & e & a & b \\\hline\hline - \multirow{3}{*}{b=} & e & e & a & \\\hline - & a & a & b & e \\\hline - & b & & e & \\\hline - \end{tabular} - \end{enumerate} - \item[b)] Es sei $A=\left(\begin{array}{ccc} - 2 & 1 & 4\\ - 1 & -1 & -5 - \end{array}\right), B = \left(\begin{array}{ccc} - 4 & 1 & 0\\ - 5 & 2 & 1\\ - 10& 7 & 6 - \end{array}\right)$ - \begin{enumerate} - \item[1)] Berechnen Sie das Element $C_{23}$ der Produktmatrix $C=A\cdot B$ - \item[2)] Wie lautet die transponierte Matrix $A^t$ zu $A$? - \item[3)] Es sei - $$A=\left(\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0\\ - 0 & 1 & -1\\ - 2 & -4 & 3 - \end{array}\right)$$ - Berechnen Sie die inverse Matrix $C=A^{-1}$ zu $A$ - \end{enumerate} - \end{enumerate} - \item Aufgabe 5(4+6+10 Punkte) Lineare Abbildungs- und Eigenwerttheorie - - Geben Sie die Ergebnisser folgender Aufgaben in den daf\"ur vorgesehenen Feldern an. - \begin{enumerate} - \item [a)] Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix - $$A=\left(\begin{array}{ccc} - 0.3 & 0 & 0\\ - 0.7 & 0 & 1\\ - 0 & 2 & 0 - \end{array}\right)$$ - $det(A)=$ - \item[b)] Berechnen Sie einen Eigenvektor $v\in\mathbb{R}^2$ zum Eigenwert $\lambda = 2$ der folgenden Matrix $B$: - $$B=\left(\begin{array}{cc} - 1 & -1\\ - -1 & 1 - \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times 2}$$ - \item[c)] Bestimmen Sie das charakteristische Polinom $p(\lambda) = \lambda^3+p_2\lambda^2+p_1\lambda+p_0$ der folgenden Matrix $A$ und berechnen Sie mit dessen Hilfe alle Eigenwerte $\lambda_i\in\mathbb{R}, i\in\{1,2,3\}$, der Matrix $A$: - $$A=\left(\begin{array}{ccc} - 0.9 & 0 & 0\\ - 0 & -1 & 1\\ - 0.1 & -2 & 2 - \end{array}\right)$$ - \end{enumerate} + \end{enumerate} \end{enumerate} + +\section*{Aufgabe 2: Vektorr\"aume (6 + 6 + 8)} + + \begin{enumerate} + \item [a)] Betrachten Sie die Vektoren + $$a=\left(\begin{array}{c} + 0 \\1\\1 + \end{array}\right),~b=\left(\begin{array}{c} + 1 \\1\\1 + \end{array}\right),~c=\left(\begin{array}{c} + 1 \\0\\1 + \end{array}\right)$$ + des $\mathbb{F}_2$-Vektorraums $\mathbb{F}^3_2$ auf dem K\"orper der bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ mit den Operationen $\{\oplus, \odot\}$ -- der Addition und Multiplikation modulo 2, d. h. f\"ur $x, y\in\mathbb{F}_2,x\oplus y = (x+y)~mod~2,\\ x \odot y = (x\cdot y)~mod~2$.\\ + Sind die Vektoren $\{a,b,c\}\subset\mathbb{F}^3_2$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort durch geeignete algebraische Argumente. + \item [b)] Betrachten Sie die Matrizen + $$A=\left(\begin{array}{cc} + 0 & 1 \\ + 0 & 1 \\ + \end{array}\right),~B= \left(\begin{array}{cc} + 0 & 0 \\ + 1 & 0 + \end{array}\right),~C = \left(\begin{array}{cc} + 0 & 1 \\ + 1 & 0 + \end{array}\right)$$ + des Vektorraums $\mathbb{R}^{2\times 2}$.\\ + Sind die Matrizen $\{A,B,C\}\subset\mathbb{R}^{2\times 2}$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation. + \item[c)] Weisen Sie durch eine geeignete algebraische Argumentation nach, dass die Menge + $$U = \{v=\left(\begin{array}{c} + x_1 \\x_2\\x_3 + \end{array}\right)\in \mathbb{R}^{3}~|~4x_1+3x_2=0\} \subset \mathbb{R}^3$$ + ein Untervektorraum des reellen Vektorraums $V = \mathbb{R}^3$ ist. + \end{enumerate}\newpage + +\section*{Aufgabe 3: Lineare Abbildungen (6 + 6 + 4 + 4)} + + Betrachten Sie die lineare Abbildung + $$ f: V \longrightarrow W $$ + $$ v = \left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right) \rightarrow f(v) = \left(\begin{array}{c} y\oplus z \\ x\oplus z \\ x\oplus y \end{array}\right) $$ + zwischen den $\mathbb{F}_2$-Vektorr\"aumen $V=\mathbb{F}^3_2$ und $W=\mathbb{F}^3_2$ \"uber dem K\"orper der bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$ mit den Operationen $\{\oplus,\odot\}$ -- der Addition und Multiplikation modulo 2, d.h. $x\oplus y = (x+y)~mod~2$ und $ x\odot y = (x\cdot y)~mod~2$ f\"ur $x,y\in\mathbb{F}_2$. + \begin{itemize} + \item [a)] W\"ahlen Sie jeweils die kanonische Basis $\mathcal{B} = \{e_1,e_2,e_3\}$ im $\mathbb{F}_2$-Vektorraum $V = \mathbb{F}^3_2$ bzw. $W=\mathbb{F}^3_2$ aus und geben Sie die der Abbildung $f$ zugeordnete Matrix $A_f$ bzgl. dieser beiden Basen an. + \item [b)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation oder eines geeigneten Berechnungsverfahrens den Rang $rg(f)$ der Abbildung $f$. + \item [c)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Formel, die Sie explizit angeben sollen, die Dimension $k=dim(Ker(f))$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$. + \item [d)] Geben Sie eine Basis $\mathcal{C} = \{v_1,\dots,v_k\}$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$ an. + \end{itemize} + +\section*{Aufgabe 4: Gruppen- und Matrizenalgebra (10 + 4 + 6)} + \begin{enumerate} + \item [a)] Beantworten Sie folgende Fragen zur Algebra einfacher Gruppen $(G,\oplus,e)$. + + \begin{enumerate} + \item [1)] Betrachten Sie die Gruppe $(G,\oplus,e)=(\mathbb{F}^3_2,\oplus,e)$ aller bin\"arer Tupel + $$(a,b)\in\mathbb{F}^3_2 = \{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$$ + mit den Komponenten $a,b\in\mathbb{F}_2= \{ 0,1\}$ und der komponentenweise definierten Addition modulo 2 als Gruppenverkn\"upfung $\oplus$. + + Geben Sie das neutrale Element $e\in G$ an und berechnen Sie f\"ur $f=(1,0)$, $g=(0,1)$, $h=(1,1)$ die folgenden Gruppenelemente $k,l\in G$ + + $$k = g \oplus f = $$ + $$l = g \oplus h = $$ + $$e = $$ + + \item[2)] Definiert die Teilmenge + $$U=\{(0,0),(1,0),(0,1)\}\subset \mathbb{F}^2_2=G$$ + eine Untergruppe von $(\mathbb{F}^2_2,\oplus,e)$? Geben Sie eine algebraische Begr\"undung an. + + \item[3)] Die aus drei verschiedenen Elementen bestehende Menge $G=\{e,a,h\}$ mit der additiven Verkn\"upfung $z=x\oplus y \in G $ auf zwei Gruppenelementen $x,y \in G$ kann durch eine entsprechende Verkn\"upfungstabelle T beschrieben werden (siehe unten), z. B. ergibt sich aus der Additon der Elemente $x = h$ in der vierten Zeile und $y = a$ in der dritten Spalte das Element + + $$z=x\oplus y = h \oplus a = e$$ + Erg\"anzen Sie die fehlenden Elemente in der Verkn\"upfungstabelle $T$ derart, dass $T$ eine kommutative Gruppe $(G,\oplus,e)$ definiert. + + \begin{table}[H] + \centering + \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}\hline + $\oplus$ & e & a & h \\\hline\hline + e & e & a & ? \\\hline + a & a & h & e \\\hline + h & ? & e & ? \\\hline + \end{tabular} + \end{table} + \end{enumerate} + + \item[b)] Es seien $A=\left(\begin{array}{ccc} + 2 & 1 & 4\\ + 1 & -1 & -5 + \end{array}\right),~B = \left(\begin{array}{ccc} + 4 & 1 & 0\\ + 5 & 2 & 1\\ + 10& 7 & 6 + \end{array}\right)$ + \begin{enumerate} + \item[1)] Berechnen Sie das Element $C_{23}$ der Produktmatrix $C=A\cdot B$. + \item[2)] Wie lautet die transponierte Matrix $A^t$ zu $A$? + \item[3)] Es sei: + $$A=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & -1\\ + 2 & -4 & 3 + \end{array}\right)$$ + Berechnen Sie die inverse Matrix $C=A^{-1}$ zu $A$ + \end{enumerate} + \end{enumerate} + +\section*{Aufgabe 5: Lineare Abbildungs- und Eigenwerttheorie(4 + 6 + 10)} + + \begin{enumerate} + \item [a)] Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix $A$: + $$A=\left(\begin{array}{ccc} + 0.3 & 0 & 0\\ + 0.7 & 0 & 1\\ + 0 & 2 & 0 + \end{array}\right)$$ + \item[b)] Berechnen Sie einen Eigenvektor $v\in\mathbb{R}^2$ zum Eigenwert $\lambda = 2$ der folgenden Matrix $B$: + $$B=\left(\begin{array}{cc} + 1 & -1\\ + -1 & 1 + \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times 2}$$ + \item[c)] Bestimmen Sie das charakteristische Polynom $p_C(\lambda) = \lambda^3+p_2\lambda^2+p_1\lambda+p_0$ der folgenden Matrix $C$ und berechnen Sie mit dessen Hilfe alle Eigenwerte $\lambda_i\in\mathbb{R}, i\in\{1,2,3\}$, der Matrix $C$: + $$C = \left(\begin{array}{ccc} + 0.9 & 0 & 0\\ + 0 & -1 & 1\\ + 0.1 & -2 & 2 + \end{array}\right)$$ + \end{enumerate} + \end{document} \ No newline at end of file