From 23bed3c56af26205d45f8612d6646b0da0e583e4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Michael=20Tr=C3=A4ger?= Date: Tue, 15 Jul 2014 15:38:55 +0200 Subject: [PATCH] added mif2 and gitignore --- .gitignore | 37 +++++++ mathefuerinf2/mfi2-13.tex | 228 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 265 insertions(+) create mode 100644 .gitignore create mode 100644 mathefuerinf2/mfi2-13.tex diff --git a/.gitignore b/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..90d41de --- /dev/null +++ b/.gitignore @@ -0,0 +1,37 @@ +*.acn +*.acr +*.alg +*.aux +*.bbl +*.bcf +*.blg +*-blx.aux +*-blx.bib +*.dvi +*.fdb_latexmk +*.fls +*.glg +*.glo +*.gls +*.idx +*.ilg +*.ind +*.ist +*.lof +*.log +*.lot +*.maf +*.mtc +*.mtc0 +*.nav +*.nlo +*.out +*.pdfsync +*.ps +*.snm +*.synctex.gz +*.toc +*.vrb +*.xdy +*.tdo +*.pdf diff --git a/mathefuerinf2/mfi2-13.tex b/mathefuerinf2/mfi2-13.tex new file mode 100644 index 0000000..5feeec0 --- /dev/null +++ b/mathefuerinf2/mfi2-13.tex @@ -0,0 +1,228 @@ +\input{../settings/settings} + +\usepackage{graphicx} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsfonts} +\begin{document} +\klausur{Mathe für Informatiker 2}{Prof. Dr. U. Krieger}{Sommersemester 13}{90}{Taschenrechner, Handbeschriebenes DinA4 Blatt} +\section{Aufgabe, Punkte (14 + 6)} +Lineare Gleichungsysteme und Matlab. + +\begin{enumerate} + +\item Betrachten Sie das LGS U * x = b;\\\\ +$ +\begin{pmatrix} + u_{11} & u_{12} & \ddots & u_{1n} \\ + 0 & u_{12} & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \ddots & u_{nn} +\end{pmatrix} +* +\begin{pmatrix} +x_{1}\\ +x_{2}\\ +\vdots\\ +x_{n} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +b_{1}\\ +b_{2}\\ +\vdots\\ +b_{n} +\end{pmatrix} +$ +\\\\ +Mit der oberen Dreiecksmatrix U. Wobei:\\\\ +$ +U \in \mathbb{R} ^{n \times n}, n \in \mathbb{N}, n \leq 2,u_{ii} \neq 0, i=1 ... n +$ + +\begin{enumerate} +\item Geben Sie einen einfachen Algorithmus zur Berechnung des Lösungsvektors $x \in \mathbb{R}^{n}.$ an. + +\item Geben Sie auf Basis ihrers Algorithmus ein Matlab oder Oktav Programm für die Berechnung des Lösungsvektors x an. + +\end{enumerate} + +\item Betrachten Sie folgendes LGS\\\\ +$ +\begin{array}{lcl} +2x_{1} + x_{2} + x_{3} & = & 1\\ +2x_{2} + x_{3} &=& 0\\ +x_{3} &=& 1 +\end{array} +$ +\begin{enumerate} +\item Geben Sie das LGS in Matrix-Vektor Darstellung an. $ A*x=b$ +\item Ist das System eindeutig lösbar? Begründen Sie. +\end{enumerate} + +\end{enumerate} %ende Aufgabe 1 + +\section{Aufgabe, Punkte (3 + 10 + 7)} +Vektorräume + +\begin{enumerate} +\item Gegeben sind die Vektoren\\ +$ + a = \begin{pmatrix} + 2\\0\\0 + \end{pmatrix} + b = \begin{pmatrix} + -1\\0\\2 + \end{pmatrix} + c = \begin{pmatrix} + 1\\0\\2 + \end{pmatrix} +$ +des Vektorraums $ \mathbb{R}^{3}$ + +\begin{enumerate} +\item Sind die drei Vektoren $ \{a, b, c\} \in \mathbb{R}^{3}$ linear-unabhängig oder linear-abhängig? Begründen Sie durch Rechnung. +\end{enumerate} + +\item Gegeben sind die Matrizen:\\ + +$A=\begin{pmatrix} +1/2 & 0 & 0\\ +0 & 1 & 0 \\ +0 & 0 & 0 +\end{pmatrix} +B=\begin{pmatrix} +1/2 & 0 & 0\\ +0 & 0 & 1\\ +0 & 0 & 0 +\end{pmatrix} +C=\begin{pmatrix} +1 & 0 & 0 \\ +0 & 1 & 1 \\ +0 & 0 & 0 +\end{pmatrix} +$\\\\ +des Vektorraums $\mathbb{R}^{3 \times 3}$ + +\begin{enumerate} +\item Sind die Matrizen \{A,B,C\} $\in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ linarunabhängig oder linarabhängig? +\item Bestimmen Sie die max. Anzahl der linear unabhängigen Elemente der Menge \{A,B,C\}. Begründen Sie durch algebr. Argumente. +\end{enumerate} + +\item Gegeben sei folgende reelwertige 2x2 Matrix\\ + +$\begin{pmatrix} +1 & -1 \\ +-1 & 1 +\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2x2}$\\\\ +mit Elementen $Aij \in \{1,-1\} \subset \mathbb{R}, 1 \leq i \leq 2; 1 \leq j \leq 2 $ + +\begin{enumerate} +\item Beweisen Sie durch eine geeignete algeb. Argumentation, dass die Teilmenge $ U:= \{y\in\mathbb{R}^{2}:0=2*y-A-y\} \subseteq \mathbb{R}^{2}$ in Abhängigkeit von Vektor y des reelen Vektorraums $V=\mathbb{R}^{2}$ ein UnterVektorRaum von V ist. + +\item Welchem Typ gehört die Matrix A an? +\end{enumerate} + +\end{enumerate} %ende aufgabe2 + +\section{Aufgabe, Punkte (9+6+3+2)} + +Betrachten Sie die lin. Abbildung.\\ + +$ f : V \to W$\\\\ + +$v = \begin{pmatrix} +x\\y\\z +\end{pmatrix} +\to +f(v)= +\begin{pmatrix} +2(x+y+z)\\ +z+y+x\\ +z +\end{pmatrix}$\\\\ + +Mit $ V = \mathbb{R}^{3}, W=\mathbb{R}^{3}$ + +\begin{enumerate} + +\item Wählen Sie je die kanonische Basis $B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ im $\mathbb{R}$ Vektorraum $V=\mathbb{R}^{3}$ aus. Geben Sie die der Abb. f zugeordnete Matrix $A_f$ bezgl. dieser Basen an. + +\item Bestimmen Sie den Rang $rg(f)$ der Abbildung f. +\item Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Formel, die sie explizit angeben sollen, mit Hilfe des Ranges $rg(f)$ die Dimension $k = dim(Ker(f))$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung f. +\item Ist f eine birektive lineare Abbildung? Begründen Sie kurz. + +\end{enumerate} %ende Aufgabe 3 +\newpage +\section{Aufgabe, Punkte(8+6+6)} +Matrizenalgebra\\ + +\begin{enumerate} +\item Gegeben: + $A=\begin{pmatrix} +0 & -1 & 0 & 2\\ +0 & 0 & 1 & 0\\ +0 & 1 & 0 & 1 +\end{pmatrix}$ + +\begin{enumerate} +\item Wie lautet die transponierte Matix $A^{t}$ zu A? +\item Geben Sie den Rang $rg(A^{t})$ von $A^{t}$ an. +\end{enumerate} + +\item Es sei: +$A=\begin{pmatrix} +4 & 1 \\ +3 & 2 +\end{pmatrix} +B=\begin{pmatrix} +2 & 3 & 0 & 1\\ +1 & -5 & 6 & 0 +\end{pmatrix}$ + +\begin{enumerate} +\item Berechnen Sie das Element $C_{23}$ des Matrixprodukts $C=A*B$ +\item Geben Sie die Dimensionsvariablen $n,m$ der Produkt Matrix\\ $C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ an. + +\item Es sei $A=\begin{pmatrix} +1 & 0 & 0\\ +1 & 1 & 0 \\ +-2 & 1 & 1 +\end{pmatrix}$ \\\\ +Berechnen Sie die inverse Matrix $C=A^{-1}$ zu $A$. + +\end{enumerate} + +\end{enumerate} %ende Aufgabe 4 + +\section{Aufgabe, Punkte(4 + 8 + 8)} +Lineare Abbildungen und Eigenwerte. + +\begin{enumerate} +\item Es seien feste Basen der reelwertigen Vektorraum $V = \mathbb{R}^{k}$ und $W=\mathbb{R}^{m}$ gewählt und \\ +$A_{f}\begin{pmatrix} +2 & 4 & -2 & 1 & 0 \\ +-2 & -5 & 7 & 3 & 1\\ +3 & 7 & -8 & 6 & 0 +\end{pmatrix}$\\ +sei die der linearen Abbildung $f: V\to W$ zugeordnete Matrix.\\ +Geben Sie die Dimensionen $k, m \in \mathbb{N}$ der zugrunde liegenden Vektorräume an. + +\item Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix durch andwendung einern geeigneten Laplace Entwicklung. + +$A=\begin{pmatrix} +2 & 0 & 0 & 0 \\ +1 & 1 & 0 & 0 \\ +0 & 0 & 0,7 & 0\\ +0 & 0 & 0,3 & 1 +\end{pmatrix}$ + +\item Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \in \mathbb{R}$ der folgenden Matrix. + +$A=\begin{pmatrix} +0,1 & 0 & 0\\ +0 & 0 & 0 \\ +0,9 & 1 & 0 +\end{pmatrix}$ + +\end{enumerate} %ende Aufgabe 5 +\end{document} \ No newline at end of file