diff --git a/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/SS17 MfI2.tex b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/SS17 MfI2.tex new file mode 100644 index 0000000..fac6336 --- /dev/null +++ b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/SS17 MfI2.tex @@ -0,0 +1,300 @@ +\input{../settings/settings} + +% Mathematik +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{mathtools} + +% Referenzen +\usepackage{hyperref} + +\begin{document} + + \klausur{KTR-MfI2-B Mathematik für Informatik 2)} + {Prof. Dr. U. Krieger} + {Sommersemester 17} + {90} + {Taschenrechner, zwei von Hand geschriebene DIN-A4-Seiten} + + % Aufgabe 1 + \section{Lineare Gleichungssysteme und Matlab/Octave (8 + 12 Punkte)} + + \begin{enumerate} + % Aufgabe 1.1 + \item \begin{enumerate} + \item Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem: + + \begin{align} + x_1 + x_3 = 1 \\ + 2x_1 + x_2 = 0 \\ + 4x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 2 + \end{align} + + Geben Sie eine Darstellung in der Form eines Matrix-Vektor-Produkts $A \cdot x = b$ mithilfe einer geeigneten Koeffizientenmatrix $A$, des Vektors $x$ der Variablen sowie der rechten Seite $b$ des Gleichungssystems an. + + % Aufgabe 1.1a + \item Berechnen Sie die Lösung $x = (\begin{array}{ccc}x_1 & x_2 & x_3\end{array}) \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$. Wandeln Sie hierzu das System $(\begin{array}{cc}A & b\end{array})$ in Treppennormalform um und ermitteln Sie anschließend die Lösung mithilfe des Gaußschen Algorithmus. + + % Aufgabe 1.1b + \item Ist das inhomogene lineare System $A \cdot x = b$ eindeutig lösbar? Begründen Sie. + \end{enumerate} + + % Aufgabe 1.2 + \item Wir betrachten den gerichteten Graphen $G = (V, E)$ des Google-Rangbildungsverfahrens. Dabei sei $V = \{ 1,2,3,4 \}$ die Menge der Knoten (Webseiten) und $E \subset V \times V$ die Menge der Kanten (Webseitenverknüpfungen durch Hyperlinks). Betrachten Sie hierzu Abbildung~\ref{fig:googlePagerank}. + + $e^t = (1,1,1,1) \in \mathbb{R}^{1 \times 4}$ sei ein Zeilenvektor aus Einsen und $0_4 = (0,0,0,0)^t \in \mathbb{R}^{4 \times 1}$ sei ein Spaltenvektor aus Nullen. + + $x = (x_1, x_2, x_3, x_4)^t \in \mathbb{R}^{4 \times 1}$ ist der Spaltenvektor des Rangwertes $x_i \in [0,1]$ der Seiten $i \in V$. + + \begin{enumerate} + % Aufgabe 1.2a + \item Betrachten Sie den Graphen $G$ in Abbildung~\ref{fig:googlePagerank}. Geben Sie die stochastische Matrix $P \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ an, welche auf Basis der gewichteten Adjenzmatrix des Graphen $G$ bei der Berechnung des Google-Rangbildungsverfahrens verwendet wird. + + \begin{figure}[h] + \centering + \includegraphics[width=4cm]{./img/google-pagerank.pdf} + \caption{Graph einer Google-Seitenrangbildung} + \label{fig:googlePagerank} + \end{figure} + + % Aufgabe 1.2b + \item Geben Sie den Code eines Matlab/Octave-Programms an, mit dessen Hilfe diese soeben erzeugte Matrix $P$ dargestellt wird. + + % Aufgabe 1.2c + \item Betrachten Sie das zum Rangbildungsverfahren gehörende lineare Gleichungssystem + + \begin{equation} + A \cdot x = b + \label{eq:lgs} + \end{equation} + + und geben Sie ein Codesegment an, das sowohl die Systemmatrix $A$ mit der folgenden $2 \times 1$-Blockmatrixstruktur + + \begin{equation} + A = \left( \begin{array}{c} A_{11} \\ A_{21} \end{array} \right) + = \left( \begin{array}{c} I_4 - P^t \\ e^t \end{array} \right) + \in \mathbb{R}^{5 \times 4}, + \end{equation} + + als auch die rechte Seite + + \begin{equation} + b = \left( \begin{array}{c} 0_4 \\ 1 \end{array} \right) + \in \mathbb{R}^{5 \times 1} + \end{equation} + + von \eqref{eq:lgs} in Matlab/Octave-Syntax wiedergibt. + + % Aufgabe 1.2d + \item Benennen Sie eine Matlab/Octave-Funktion, welche durch die Anwendung des Gaußalgorithmus die Treppennormalform der erweiterten Systemmatrix $(\begin{array}{cc}A & b\end{array})$ berechnet. + + % Aufgabe 1.2e + \item Geben Sie einen Matlab/Octave-Funktionsanruf am, mit dem die Lösung $x \in \mathbb{R}^4$ des linearen Systems \eqref{eq:lgs} in Matlab/Octave berechnet werden kann. + \end{enumerate} + \end{enumerate} + + % Aufgabe 2 + \section{Vektorräume (5 + 7 + 8 Punkte)} + + \begin{enumerate} + + % Aufgabe 2.1 + \item Betrachten Sie die Vektoren + + \begin{equation} + a = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), + b = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), + c = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), + \end{equation} + + des $\mathbb{F}_2$-Vektorraums $\mathbb{F}_2^3$ auf dem Körper der binären Elemente $\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$. Dieser enthält die Operationen $\{\oplus, \odot\}$, definiert als + $\forall x,y \in \mathbb{F}_2. + x \oplus y = (x + y) ~\mathrm{mod}~2, + x \odot y = (x \cdot y)~\mathrm{mod}~2$. + + Sind diese drei Vektoren $\{a, b, c\} \subset \mathbb{F}_2^3$ linear unabhängig oder linear abhängig? Begründen Sie Ihre Antwort durch geeignete algebraische Argumente. + + % Aufgabe 2.2 + \item Betrachten Sie die Monome $e_1(x) = 1$, $e_2(x) = x$ als Elemente des Vektorraums + + \begin{equation} + V = \mathbb{Q}_2[x] + = \{p:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}, + x \mapsto p(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2~|~b_0, b_1, b_2 \in \mathbb{Q}\} + \end{equation} + + der Polynome mit maximalem Grad 2 über dem Körper $\mathbb{K} = \mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen. Als Grundoperation stehen in $V$ die punktweise Addition und die Skalarmultiplikation zur Verfügung: + + \begin{align} + (p + q)(x) &= p(x) + q(x) + ~&\mathrm{mit}~x \in \mathbb{Q}, p(x), q(x) \in V \\ + (\lambda \cdot p)(x) &= (\lambda \cdot b_0) + (\lambda \cdot b_1)x + (\lambda \cdot b_2)x^2 + ~&\mathrm{mit}~x, \lambda \in \mathbb{Q}, p(x) \in V + \end{align} + + \begin{enumerate} + % Aufgabe 2.2a + \item Sind die Polynome $v_1 = e_1(x)$ und $v_2 = e_2(x)$ linear abhängige oder linear unabhängige Elemente $v_1, v_2$ des $\mathbb{Q}$-Vektorraums $V = \mathbb{Q}_2[x]$? Begründen Sie Ihre Antwort durch algebraische Argumente. + + %Aufgabe 2.2b + \item Geben Sie einen Untervektorraum $U_1 \subset V$ von $V$ der Dimension $1$ an. + \end{enumerate} + + % Aufgabe 2.3 + \item Weisen Sie durch eine geeignete algebraische Argumentation nach, dass die Menge + + \begin{equation} + U = \{ v = \left( \begin{array}{c} + x \\ + y \\ + z + \end{array} \right) \in \mathbb{R}^3 ~|~ y - z = 0 \} \subset \mathbb{R}^3 + \end{equation} + + ein Untervektorraum des reellen Vektorraums $V = \mathbb{R}^3$ ist. + \end{enumerate} + + % Aufgabe 3 + \section{Lineare Abbildungen (6 + 6 + 4 + 4 Punkte)} + + Betrachten Sie die lineare Abbildung + + \begin{align} + f : V &\rightarrow W \\ + v = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &\mapsto + f(v) = \left( \begin{array}{c} x \\ 2 \cdot (x + z) \\ 2 \cdot x + z \end{array} \right) + \end{align} + + zwischen den $\mathbb{R}$-Vektorräumen $V = \mathbb{R}^3$ und $W = \mathbb{R}^3$. + + \begin{enumerate} + % Aufgabe 3.1 + \item Wählen Sie die kanonische Basis $\mathcal{B} = \{ e_1, e_2, e_3 \}$ im $\mathbb{R}$-Vektorraum $V = \mathbb{R}^3$ bzw. $W = \mathbb{R}^3$ aus und geben Sie die der Abbildung $f$ zugeordnete Matrix $A_f$ bzgl. dieser beiden Basen an. + + % Aufgabe 3.2 + \item Bestimmen Sie mithilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation oder eines geeigneten Berechnungsverfahrens den Rang $rg(f)$ der Abbildung $f$. + + % Aufgabe 3.3 + \item Bestimmen Sie mithilfe einer geeigneten Formel, die Sie explizit angeben sollen, die Dimension $k = \mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(f))$ des Kerns $\mathrm{Ker}(f)$ der Abbildung $f$. + + % Aufgabe 3.4 + \item Geben Sie eine Basis $\mathcal{C} = \{v_1,...,v_k\}$ des Kerns $\mathrm{Ker}(f)$ der Abbildung $f$ an. + \end{enumerate} + + % Aufgabe 4 + \section{Gruppentheorie und Matrizenalgebra (8 + 6 + 6 Punkte)} + + \begin{enumerate} + % Aufgabe 4.1 + \item Wir betrachten die Einheitengruppe $E(\mathbb{Z}) = \{1, -1\}$, die aus dem Monoid $(\mathbb{Z}, \cdot, 1)$ der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ bei Verwendung der Multiplikation $\cdot$ als Grundoperation hervorgeht. Dann definiert die komponentenweise Multiplikation auf $(\mathbb{Z}, \cdot)$ in der Form + + \begin{equation} + x \otimes y = (a, b) \otimes (c, d) + = (a \cdot c, b \cdot d) + ~\mathrm{mit}~ + x = (a, b), + y = (c, d) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} + \end{equation} + + eine neue Multiplikationsoperation $\otimes$ auf dem Produktmonoid $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, \otimes, e)$ und + + \begin{equation} + G = E(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) + = \{(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)\} + \end{equation} + + wird zur Einheitengruppe. + + \begin{enumerate} + % Aufgabe 4.1.1 + \item Ergänzen Sie die folgende Verknüpfungstabelle der Teilmenge $U = \{g_1, g_2\} = \{ (1, 1), (1, -1) \} \subset G$, die sich bei der Multiplikation $z_{i,j} = g_i \otimes g_j \in G = E(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})$ der Elemente $g_i, g_j, i, j \in \{1,2\}$ ergeben: + + \begin{center} + \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline + $\otimes$ & $g_1 = (1, 1)$ & $g_2 = (1, -1)$ \\ \hline + $g_1 = (1, 1)$ & & \\ \hline + $g_2 = (1, -1)$ & & \\ \hline + \end{tabular} + \end{center} + + % Aufgabe 4.1.2 + \item Wie lautet das inverse Element $g^{-1}_2$ zu $g_2 = (1, -1)$? + + % Aufgabe 4.1.3 + \item Um welche algebraische Teilstruktur der Gruppe $(G, \otimes)$ handelt es sich bei $(U, \otimes)$? + \end{enumerate} + + % Aufgabe 4.2 + \item Es sei $A = \left( \begin{array}{cc} + 2 & 1 \\ + 3 & -10 + \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{ccc} + 4 & 1 & 0 \\ + 5 & -2 & 1 + \end{array} \right)$. + + \begin{enumerate} + % Aufgabe 4.2.1 + \item Berechnen Sie das Element $C_{12}$ der Produktmatrix $C = A \cdot B$. + + % Aufgabe 4.2.2 + \item Wie lautet die transponierte Matrix $B^t$ zu $B$? + \end{enumerate} + + % Aufgabe 4.3 + \item Es sei $A = \left( \begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 1 \\ + 0 & 1 & -2 \\ + 0 & 0 & 1 + \end{array} \right)$. + Berechnen Sie die inverse Matrix $C = A^{-1}$ zu $A$. + \end{enumerate} + + % Aufgabe 5 + \section{Lineare Abbildungs- und Eigenwerttheorie (2 + 8 + 10 Punkte)} + \begin{enumerate} + % Aufgabe 5.1 + \item Es seien feste Basen in den reellwertigen Vektorräumen $V = \mathbb{R}^k$ und $W = \mathbb{R}^m$ gewählt und + + \begin{equation} + A_f = \left( \begin{array}{ccc} + 2 & 4 & - 4 \\ + -2 & -5 & 8 \\ + 3 & 6 & -18 \\ + 0 & 0 & 1 + \end{array} \right) + \end{equation} + + sei die der linearen Abbildung $f : V \rightarrow W$ zugeordnete Matrix. Geben Sie die Dimensionen $k, m \in \mathbb{N}_0$ der zugrunde liegenden Vektorräume $V$ und $W$ an. + + % Aufgabe 5.2 + \item Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen: + \begin{equation} + A = \left( \begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 2 \\ + 0 & 6 & 0 \\ + 2 & 0 & 2 + \end{array} \right), + B = \left( \begin{array}{ccc} + 6 & 0 & 0 \\ + 5 & 4 & 0 \\ + 3 & 2 & 1 + \end{array} \right) + \end{equation} + + % Aufgabe 5.3 + \item Bestimmen Sie das charakteristische Polynom + $p(\lambda) = \lambda^3 + p_2\lambda^2 + p_1\lambda + p_0$ + der folgenden Matrix $A$ und berechnen Sie mit dessen Hilfe alle Eigenwerte + $\lambda_i, i \in \{1, 2, 3\}$ der Matrix. + + \begin{equation} + A = \left( \begin{array}{ccc} + 0 & 3 & 0 \\ + 4 & -1 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 + \end{array} \right) + \end{equation} + \end{enumerate} +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/img/google-pagerank.pdf b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/img/google-pagerank.pdf new file mode 100644 index 0000000..29bcf20 Binary files /dev/null and b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/img/google-pagerank.pdf differ diff --git a/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/img/google-pagerank.svg b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/img/google-pagerank.svg new file mode 100644 index 0000000..afef481 --- /dev/null +++ b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/img/google-pagerank.svg @@ -0,0 +1,406 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + + + 1 + 3 + 2 + 4 + + + + + + + + + + + +