From b7b9029f89106f55ed8fd541f0eef470c8b00451 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian Lamprecht Date: Mon, 28 May 2018 23:15:09 +0200 Subject: [PATCH] MfI 2 WS 17/18 --- .../WS17 MfI2.tex | 191 ++++++++++++++++++ 1 file changed, 191 insertions(+) create mode 100644 KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/WS17 MfI2.tex diff --git a/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/WS17 MfI2.tex b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/WS17 MfI2.tex new file mode 100644 index 0000000..238b93c --- /dev/null +++ b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/WS17 MfI2.tex @@ -0,0 +1,191 @@ +\input{../settings/settings} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{multirow} + +\begin{document} + +\klausur{KTR-MfI 2} +{Prof. Dr. U. Krieger)} +{Wintersemester 17/18} +{90} +{Taschenrechner, 1 Din A4 Seite doppelseitig handbeschrieben} + +\begin{enumerate} + \item Aufgabe 1 (8+12 Punkte) Lineare Gleichungssysteme und Matlab/Octave + + Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen in den daf\"ur vorgegebenen Feldern an. + \begin{enumerate} + \item [a)] Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem: + \[\begin{array}{lllllll} + 2x_1 & + & 4x_2 & & & = 0 \\ + & & 2x_2 & + & 2x_3 & = 2 \\ + 2x_1 & + & 4x_2 & + & 4x_3 & = 1 + \end{array}\] + \begin{enumerate} + \item [1)] Geben Sie eine Darstellung dieses linearen Gleicungssystems in der Form eines Matrix-Vektor-Produkts $$A\cdot x = b$$ mit Hilfe einer geeigneten Koeffizientenmatrix $A$ und dem Vektor $x$ der Variablen sowie der rechten Seite $b$ des Gleicungssystems an. + \item[2)] Berechnen Sie die L\"osung $x = \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3$ durch die \"Uberf\"uhrung des Systems (A~~~b) in Treppennormalform und anschlie{\ss}ende L\"osung unter Verwendung des Gau{\ss}schen Algorithmus. + + + \end{enumerate} + + \item [b)] Berechnen Sie da lineare Gleichungssystem + $$L\cdot x = \left( \begin{array}{cccc} + L_{11} & 0 & \dots & 0 \\ + L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\ + \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ + L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn} + \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} + x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n + \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} + b_1 \\b_2\\\vdots\\b_n + \end{array}\right)=b$$ + mit der unteren Dreiecksmatrix + $$L = \left( \begin{array}{cccc} + L_{11} & 0 & \dots & 0 \\ + L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\ + \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ + L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn} + \end{array}\right)\in \mathbb{R}^{n\times n}, n\in\mathbb{N}, n\geq 2$$ + und nehmen Sie an, dass alle Elemente $L_{ii}\neq 0,i=1,\dots,n$, sind. + + Der Vektor $x=\left(\begin{array}{c} + x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n + \end{array}\right)$ kann mit Hilfe des folgenden \textit{Forward-Substitution} Algorithmus + \begin{equation} + x_i=\left(b_i-\sum^{i-1}_{j=1}~~L_{ij}\cdot x_j\right)/ L_{ii}, i=1,\dots,n + \end{equation} + bestimmt werden, der sukzessive die Elemente $x_i,i=1,\dots,n,$ berechnet. + \newpage + \begin{enumerate} + \item[1)] Implementieren Sie den \textit{Forward-Substitution} Algorithmus als MATLAB oder Octave Funktion $ForSub(b, L, y)$, die f\"ur eine gegebene rechte Seite $b\in\mathbb{R}^n$ und eine invertierbare untere Dreiecksmatrix $L\in\mathbb{R}^{n\times n}$ der Dimension $ n \in \mathbb{N}, n\geq 2$, mit Diagonalelementen $L_{ii}\neq 0, i=1,\dots,n$, als Eingabeparametern des L\"osungsvektor $x\in\mathbb{R}^n$ in (1) berechnet und diesen w\"ahrend des L\"osungsverfahrens sukzessive in den Speicherplatz des Ausgabevektors $y\in\mathbb{R}^n$ schreibt, nachdem $y$ zu Beginn des Algorithmus mit dem Nullvektor initialisieert wurde. + \item[2)] Schreiben Sie ein MATLAB oder Octave Programm, das diese erstellte MATLAB oder Octave Funktion $ForSub$ zur L\"osung des Gleichungssystems $L \cdot x = b$ mit folgenden Eingangsdaten + $$L=\left(\begin{array}{ccc} + 2 & 0 & 0 \\ + 1 & 5 & 0 \\ + 7 & 9 & 8 + \end{array}\right), b = \left(\begin{array}{c} + 6 \\2\\5 + \end{array}\right)$$ + anwendet und dann den L\"osungsvektor $x$ komponentenweise ausgibt. + \end{enumerate} + \end{enumerate} + \item Aufgabe 2 (6+6+8 Punkte) Vektorr\"aume + Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben zur Theorie der Vektorr\"aume in den daf\"ur vorgesehenen Feldern an. + \begin{enumerate} + \item [a)] Betrachten Sie die Vektoren + $$a=\left(\begin{array}{c} + 0 \\1\\1 + \end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c} + 1 \\1\\1 + \end{array}\right),c=\left(\begin{array}{c} + 1 \\0\\1 + \end{array}\right)$$ + des $\mathbb{F}_2$-Vektorraums $\mathbb{F}^3_2$ auf dem K\"orper deer bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2={0,1}$ mit den Operationen $\{\oplus, \odot\}$ der Addition und Multiplikation modulo 2, d. h. f\"ur $x, y\in\mathbb{F}_2,x\oplus y = (x+y)~mod~2,\\ x \odot y = (x\cdot y)~mod~2$.\\ + Sind diese drei Vektoren $\{a,b,c\}\subset\mathbb{F}^3_2$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort durch geeignete algebraische Argumente. + \item [b)] Betrachten Sie die Matrizen + $$A=\left(\begin{array}{cc} + 0 & 1 \\ + 0 & 1 \\ + \end{array}\right), B= \left(\begin{array}{cc} + 0 & 0 \\ + 1 & 0 + \end{array}\right), C = \left(\begin{array}{cc} + 0 & 1 \\ + 1 & 0 + \end{array}\right)$$ + des Vektorraums $\mathbb{R}^{2\times 2}$.\\ + Sind diese drei Matrizen $\{A,B,C\}\subset\mathbb{R}^{2\times 2}$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation. + \item[c)] Weisen Sie durch eine geeignete algebraische Argumentation nach, dass die Menge + $$U=\{v=\left(\begin{array}{c} + x_1 \\x_2\\x_3 + \end{array}\right)\in \mathbb{R}^{3} | 4x_1+3x_2=0\} \subset \mathbb{R}^3$$ + ein Untervektorraum des reellen Vektorraums $V = \mathbb{R}^3$ ist. + \end{enumerate}\newpage + \item Aufgabe 3 (6+6+4+4 Punkte) Lineare Abbildungen + + Betrachten Sie die lineare Abbildung + $$ f: V \longrightarrow W $$ + $$ v=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)\rightarrow f(v)=\left(\begin{array}{c} y\oplus z \\ x\oplus z \\ x\oplus y \end{array}\right) $$ + zwischen den $\mathbb{F}_2$-Vektorr\"aumen $V=\mathbb{F}^3_2$ und $W=\mathbb{F}^3_2$ \"uber dem K\"orper der bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2 = {0,1}$ mit den Operationen $\{\oplus,\odot\}$ der Addition und Multiplikation modulo 2, d.h. $x\oplus y = (x+y) mod 2, x\odot y = (x\cdot y) mod 2$ f\"ur $x,y\in\mathbb{F}_2$. + \begin{itemize} + \item [a)] W\"ahlen Sie jeweils die kanonische Basis $\mathcal{B} = \{e_1,e_2,e_3\}$ im $\mathbb{F}_2$-Vektorraum $V = \mathbb{F}^3_2$ bzw. $W=\mathbb{F}^3_2$ aus und geben Sie die der Abbildung $f$ zugeordnete Matrix $A_f$ bzgl. dieser beiden Basen an. + \item [b)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation oder eines geeigneten Berechnungsverfahrens den Rang $rg(f)$ der Abbildung $f$. + \item [c)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Formel, die Sie explizit angeben sollen, die Dimension $k=dim(Ker(f))$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$. + \item [d)] Geben Sie eine Basis $\mathcal{C} = \{v_1,\dots,v_k\}$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$ an. + \end{itemize} + + \item Aufgabe 4 (10+4+6 Punkte) Gruppen- und Matrizenalgebra + \begin{enumerate} + \item [a)] Beantworten Sie folgende Fragen zur Algebra einfacher Gruppen $(G,\oplus,e)$ + \begin{enumerate} + \item [1)] Betrachten Sie die Gruppe $(G,\oplus,e)=(\mathbb{F}^3_2,\oplus,e)$ aller bin\"arer Tupel + $$(a,b)\in\mathbb{F}^3_2 = \{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$$ + mit den Komponenten $a,b\in\mathbb{F}_2= \{ 0,1\}$ und der komponentenweise definierten Addition modulo 2 als Gruppenverkn\"upfung $\oplus$. + + Geben Sie das neutrale Element $e\in G$ an und berechnen Sie f\"ur $f=(1,0), g=(0,1),h=(1,1)$ die folgenden Gruppenelemente $k,l\in G$ + + $$k = g \oplus f = $$ + $$l = g \oplus h = $$ + $$e = $$ + + \item[2)] Definiert die Teilmenge + $$U=\{(0,0),(1,0),(0,1)\}\subset \mathbb{F}^2_2=G$$ + der Untergruppe von $(\mathbb{F}^2_2,\oplus,e)$? Geben Sie eine algebraische Begr\"undung an. + \item[3)] Die aus drei verschiedenen Elementen besthende Menge $G={e,a,h}$ mit der additiven Verkn\"upfung $z=x\oplus y \in G $ auf zwei Gruppenelementen $x,y \in G$ kann durch eine entsprechende Verkn\"upfungstabelle T beschrieben werden (siehe unten), z.B. ergibt sich aus der Additon der Elemente $x = b$ in der 5. Zeile und $y=a$ in der 4. Spalte das Element + $$z=x\oplus y = b \oplus a = e$$ + Erg\"anzen Sie die fehlenden Elemente der 5. Zeile hinter $x=b$ und der 5. Spalte unterhalb von $y=b$ in der Verkn\"upfungstabelle $T$ sowie das fehlende Element der 5. Zeile und 3. Spalte f\"ur $x=b$ und $y=e$ derart, dass $T$ eine kommutative Gruppe $(G,\oplus,e)$ definiert. + + \begin{tabular}{|c|c||c|c|c|}\hline + $\oplus$ & \multicolumn{4}{|c|}{}\\\hline + &y= & e & a & b \\\hline\hline + \multirow{3}{*}{b=} & e & e & a & \\\hline + & a & a & b & e \\\hline + & b & & e & \\\hline + \end{tabular} + \end{enumerate} + \item[b)] Es sei $A=\left(\begin{array}{ccc} + 2 & 1 & 4\\ + 1 & -1 & -5 + \end{array}\right), B = \left(\begin{array}{ccc} + 4 & 1 & 0\\ + 5 & 2 & 1\\ + 10& 7 & 6 + \end{array}\right)$ + \begin{enumerate} + \item[1)] Berechnen Sie das Element $C_{23}$ der Produktmatrix $C=A\cdot B$ + \item[2)] Wie lautet die transponierte Matrix $A^t$ zu $A$? + \item[3)] Es sei + $$A=\left(\begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & -1\\ + 2 & -4 & 3 + \end{array}\right)$$ + Berechnen Sie die inverse Matrix $C=A^{-1}$ zu $A$ + \end{enumerate} + \item Aufgabe 5(4+6+10 Punkte) Lineare Abbildungs- und Eigenwerttheorie + + Geben Sie die Ergebnisser folgender Aufgaben in den daf\"ur vorgesehenen Feldern an. + \begin{enumerate} + \item [a)] Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix + $$A=\left(\begin{array}{ccc} + 0.3 & 0 & 0\\ + 0.7 & 0 & 1\\ + 0 & 2 & 0 + \end{array}\right)$$ + $det(A)=$ + \item[b)] Berechnen Sie einen Eigenvektor $v\in\mathbb{R}^2$ zum Eigenwert $\lambda = 2$ der folgenden Matrix $B$: + $$B=\left(\begin{array}{cc} + 1 & -1\\ + -1 & 1 + \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times 2}$$ + \item[c)] Bestimmen Sie das charakteristische Polinom $p(\lambda) = \lambda^3+p_2\lambda^2+p_1\lambda+p_0$ der folgenden Matrix $A$ und berechnen Sie mit dessen Hilfe alle Eigenwerte $\lambda_i\in\mathbb{R}, i\in\{1,2,3\}$, der Matrix $A$: + $$A=\left(\begin{array}{ccc} + 0.9 & 0 & 0\\ + 0 & -1 & 1\\ + 0.1 & -2 & 2 + \end{array}\right)$$ + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{enumerate} +\end{document} \ No newline at end of file