From c3aaf4eb1df2ad1075b50a0f8f4790d0dc7b0ce2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Florian Knoch Date: Tue, 11 Dec 2018 23:18:08 +0100 Subject: [PATCH] Add exam for wintersemester 2018 --- .../SS18 MfI2.tex | 235 ++++++++++++++++++ 1 file changed, 235 insertions(+) create mode 100644 KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/SS18 MfI2.tex diff --git a/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/SS18 MfI2.tex b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/SS18 MfI2.tex new file mode 100644 index 0000000..e091f45 --- /dev/null +++ b/KTR-MfI-2-B Mathematik für Informatiker 2/SS18 MfI2.tex @@ -0,0 +1,235 @@ +\input{../settings/settings} + +\begin{document} + % Hier Klausurenbezeichnung anpassen + \examtitle + % Klausurenbezeichnung – bitte im Format : + {KTR-MfI-2:\\ Mathematik für Informatik 2} + % Dozent – bitte vollständige Anrede verwenden + {Prof. Dr. U. Krieger} + % Semesterbezeichnung – bitte vollständig ausschreiben: + % Bitte nicht + {Sommersemester 2018} + % Bearbeitungszeit: <90> Minuten + {90} + % Zugelassene Hilfsmittel, ansonsten bitte LEER lassen + {Taschenrechner, zwei von Hand geschriebene DIN-A4-Seiten} + +% +% Dokument ab hier :) +% + +\section{Lineare Gleichungssysteme (8 + 12 Punkte)} +Geben Sie die Ergebnisse der folgenden Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen an. + +\subsection{} +Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem: + +\begin{align*} +4x_1 &= 4 \\ +6x_1 + 6x_2 &= 0 \\ +2x_1 + 2x_2 + 2x_3 &= 2 +\end{align*} + +\begin{enumerate} +\item Geben Sie eine Darstellung dieses linearen Gleichungssystems in der Form eines Matrix-Vektor-Produkts $A \cdot x = b$ mit Hilfe einer geeigneten Koeffizientenmatrix $A$ und dem Vektor $x$ der Variablen sowie der rechten Seite $b$ des Gleichungssystems an. + +\item Berechnen Sie die Lösung +$x = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^3$ +durch die Überführung des Systems +$\left( \begin{array}{lr} A & b \end{array}\right)$ +in Treppennormalform und anschließende Lösung unter Verwendung des \textit{Gaußschen Algorithmus}. +\end{enumerate} + +\subsection{} +Betrachten Sie die folgende Blockmatrix-Multiplikation +$M \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}, n \in \mathbb{N}, n >= 2$ +\begin{equation*} +M = A \cdot B = \left( \begin{array}{cc} + C & D \\ + E & F +\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{cc} + G & H \\ + J & K +\end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc} + M11 & M12 \\ + M21 & M22 +\end{array}\right) +\end{equation*} +mit den Blockmatrizen $A \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}$ und $B \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}$ und ihren zugehörigen Matrizen +$\{ C, D, E, F \} \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$ und +$\{ G, H, J, K \} \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$. + +Entwickeln und implementieren Sie einen Blockmatrix-Multiplikationsalgorithmus als Octave-Funktion \texttt{bmult}, der als Eingabeparameter die gegebenen Matrizen $\{ C, D, E, F, G, H, J, K\} \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$ sowie die Dimensionsvariable $n \in \mathbb{N}$ und einen Dateinamen \texttt{fileM} verwendet und + +\begin{itemize} + \item die Produktmatrix $M = A \cdot B \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}$ mit Hilfe der aus den Eingabedaten hergeleiteten einzelnen Matrizen $M11, M12, M21, M22$ berechnet, + \item sowohl die Produktmatrix $M$ als auch deren Dimension $n$ in eine Datei \texttt{fileM} abspeichert und + \item danach als Funktionsergebnis $M$ \textbf{und} die Matrizen $M11, M12, M21, M22$ zurückgibt. +\end{itemize} + +\section{Vektorräume (6 + 6 + 8 Punkte)} +Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben zur Theorie der Vektorräume an. + +\subsection{} + +\begin{equation*} +a = \left( \begin{array}{c} + 2 \\ 2 \\ 0 \\ 2 +\end{array}\right),~b = \left( \begin{array}{c} + 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 +\end{array}\right),~c = \left( \begin{array}{c} + 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 +\end{array}\right) +\end{equation*} + +Betrachten Sie die Vektoren a, b und c des $\mathbb{R}$-Vektorraums $\mathbb{R}^4$. +Sind diese drei Vektoren $\{a, b, c\} \subset \mathbb{R}^4$ linear unabhängig oder linear abhängig? +Begründen Sie Ihre Antwort durch geeignete algebraische Argumente. + +\subsection{} + +\begin{equation*} +A = \left( \begin{array}{ccc} + 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0.6 +\end{array}\right),~B = \left( \begin{array}{ccc} + 0 & 0 & 0 \\ + 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0.4 +\end{array}\right),~C = \left( \begin{array}{ccc} + -2 & 0 & 0 \\ + -2 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & -2 +\end{array}\right) +\end{equation*} + +Betrachten Sie die Matrizen $\{ A, B, C \} \subset \mathbb{R}^{3 \times 3}$. Sind diese Matrizen linear unabhängig oder linear abhängig? Begründen Sie Ihre Antworten mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation. + +\subsection{} +\begin{equation*} +A = \left( \begin{array}{cc} + 1 & -1 \\ + -1 & 1 +\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}. +\end{equation*} + +\begin{equation*} +U = \{ y = \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^2~|~A \cdot y = 2 \cdot y\} \subseteq \mathbb{R}^2 +\end{equation*} + +Wir betrachten die reellwertige Matrix A. +Beweisen Sie durch geeignete algebraische Argumentation, dass die Teilmenge $U$ ein Untervektorraum des reellen Vektorraums $\mathbb{R}^2$ ist. + +\section{Lineare Abbildungen (6 + 5 + 3 + 6 Punkte)} + +\begin{align*} + f : V &\longrightarrow W \\ + v = \left( \begin{array}{c} + a \\ b \\ c \end{array} + \right) &\mapsto f(v) = \left( \begin{array}{c} + a - b \\ + -3 (a - b + c) \\ + a - b + c + \end{array} \right) +\end{align*} + +Betrachten Sie die lineare Abbildung f zwischen den $\mathbb{R}$-Vektorräumen $V = \mathbb{R}^3$ und $W = \mathbb{R}^3$. + +\begin{enumerate} +\item Wählen Sie jeweils die kanonische Basis $\mathcal{B} = \{e_1, e_2, e_3\}$ im $\mathbb{R}$-Vektorraum $V = \mathbb{R}^3$ bzw $W = \mathbb{R}^3$ aus und geben Sie die der Abbildung $f$ zugeordnete Matrix $A_f$ bzgl. dieser beiden Basen an. + +\item Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation oder eines geeigneten Berechnungsverfahrens den Rang $rg(f)$ der Abbildung $f$. + +\item Bestimmen Sie durch eine geeignete algebraische Argumentation die Dimension $k = dim(Ker(f))$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$. + +\item Geben Sie eine Basis $\mathcal{C} = \{ v_1, \dots, v_k \}$ des Kerns $Ker(f) = U$ der Abbildung $f$ an und weisen Sie die Basiseigenschaften der Vektoren $\{ v_1, \dots, v_k \}$ für den Untervektorraum $U$ mit Hilfe geeigneter algebraischer Argumente nach. + +\end{enumerate} + +\section{Matrizenalgebra (6 + 6 + 8 Punkte)} +Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben zur Matrizenalgebra an. + +\subsection{} +\begin{equation*} +A = \left( \begin{array}{cccc} + 1 & 0 & 0 & 1 \\ + 1 & 1 & 0 & 1 \\ + 1 & 0 & 1 & 1 +\end{array} \right) \in \mathbb{F}_2^{3 \times 4} +\end{equation*} + +\begin{enumerate} +\item Wie lautet die transponierte Matrix $A^t$ zu $A$? + +\item Bestimmen Sie den Rang $rg(A^t)$ von $A^t$ durch eine geeignete algebraische Argumentation. +\end{enumerate} + +\subsection{} + +\begin{equation*} +A = \left( \begin{array}{ccc} + 1 & 1 & -1 \\ + 0 & 1 & 1 +\end{array} \right),~B = \left( \begin{array}{cccc} + 1 & 6 & -3 & 1 \\ + 1 & -4 & 0 & 1 \\ + 1 & 0 & 1 & 0 +\end{array} \right) +\end{equation*} + +\begin{enumerate} +\item Berechnen Sie das Element $C_{23}$ der Produktmatrix $C = A \cdot B$. +\item Geben Sie die Dimensionsvariablen $n, m$ der Produktmatrix $C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ an. +\end{enumerate} + +\subsection{} + +Berechnen Sie die inverse Matrix $C = A^{-1}$ zu $A$. + +\begin{equation*} +A = \left( \begin{array}{ccc} + 2 & 2 & -2 \\ + 0 & 1 & 2 \\ + 0 & 0 & \frac{1}{2} +\end{array} \right) +\end{equation*} + +\section{Eigenwerte (4 + 8 + 8 Punkte)} +Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben an. + +\subsection{} +Bestimmen Sie die Determinante der folgenden Matrix: + +\begin{equation*} +A = \left(\begin{array}{cccc} + 4 & 1 & 0 & 1 \\ + 0 & 1 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0.3 & 0.3 \\ + 0 & 0 & 1 & 1 +\end{array} \right) +\end{equation*} + +\subsection{} +Bestimmen Sie das charakteristische Polynom $p_A(\lambda)$ der folgenden Matrix $A$ und berechnen Sie mit dessen Hilfe dann alle Eigenwerte $\sigma(A) = \{\lambda_i\ |\ i \in \{1, 2, 3\}\}$ der Matrix A: + +\begin{equation*} +A = \left(\begin{array}{ccc} + 0 & 2 & 0 \\ + 2 & 0 & 0.5 \\ + 0 & 0 & 0.5 +\end{array} \right) +\end{equation*} + +\subsection{} +Bestimmen Sie einen Eigenwert $\lambda \in \sigma(B) \subset \mathbb{R}$ und einen zugehörigen Eigenvektor $v \in \mathbb{R}^2$ der folgenden Matrix $B$: + +\begin{equation} +B = \left(\begin{array}{cc} + -2 & 2 \\ + 2 & -2 +\end{array} \right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} +\end{equation} + +\end{document}