diff --git a/WiMa-B-01a/WS17 WiMa-B-01a.tex b/WiMa-B-01a/WS17 WiMa-B-01a.tex new file mode 100644 index 0000000..a8f304f --- /dev/null +++ b/WiMa-B-01a/WS17 WiMa-B-01a.tex @@ -0,0 +1,154 @@ +\input{../settings/settings} +\usepackage{amsmath, amssymb} + +\begin{document} + \klausur{WiMa-B-01a Wirtschaftsmathematik 1} + {Prof. Dr. Christian Aßmann} + {Wintersemester 17/18} + {60} + {Taschenrechner, Formelsammlung, 1 handbeschriebenes DIN-A-4-Blatt} + + \begin{enumerate} + \item Aufgabe 1 (5 Punkte)\\ + Geben sie die Lösungsmenge der Gleichung + \begin{equation*} + | x- 3 | = 2 + \end{equation*} + an. + \begin{enumerate} + \item $L={x|x<3} $ + \item $L={} $ + \item $L={1;5} $ + \item $L={x|x>3} $ + \item $L={x|x<1} $ + \end{enumerate} + + \item Aufgabe 2 (6 Punkte)\\ + Welche der folgenden Aussagen ist falsch? + \begin{enumerate} + \item Sei $f(x)=log_a(x)$. Dann gilt $f'(x)=\frac{1}{x\ln a}$ mit $a>0$ und $a\neq1$. + \item Sei $h(x)=exp\{g(x)\}$. Dann gilt $h'(x)=g'(x)exp\{g(x)\}$. + \item $\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h-f(x)}{h} = f'(x)$, sofern der Grenzwert existiert. + \item Sei $ g(x) = f(x) + c $ für $c \in \mathbb{R}$. Dann gilt $g'(x) = f'(x)+c$. + \item Sei $ f(x)=\ln x $. Dann gilt $f'(x)=\frac{1}{x}$. + \end{enumerate} + + \item Aufgabe 3 (6 Punkte)\\ + Geben sie den natürlichen Definitionsbereich $D_f$ der Funktion + \begin{equation*} + f(x) = \ln(a-x) + \end{equation*} + für $a > 0$ an. + \begin{enumerate} + \item $D_f=\{\}$. + \item $D_f=\{x|x<0\}$. + \item $D_f=\{x|xa\}$. + \end{enumerate} + \item Aufgabe 4 (5 Punkte)\\ + Seien $x_1,x_2,\dots, x_n \in \mathbb{R}$ fest gegeben. Wie lautet die Minimalstelle $y_{min}$ der Funktion + \begin{equation*} + f(y)=\sum_{i=1}^{n}(x_1-y)^2\mathrm{?} + \end{equation*} + \begin{enumerate} + \item $y_{min}=0$. + \item $y_{min}=x_n-x_1$. + \item $y_{min}=x_1$. + \item $y_{min}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$. + \item $y_{min}=\sum_{i=1}^{n}x_i$. + \end{enumerate} + + \item Aufgabe 5 (5 Punkte)\\ + Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion + \begin{equation*} + f(x)=(1+e^{-2x})^{-3} + \end{equation*} + und berechnen Sie die Ableitung an der Stelle $x_0=1$. + \begin{enumerate} + \item $f'(x_0)=-0,3887$. + \item $f'(x_0)=0,3887$. + \item $f'(x_0)=0,4887$. + \item $f'(x_0)=0,5887$. + \item $f'(x_0)=-0,4887$. + \end{enumerate} + + \item Aufgabe 6 (5 Punkte)\\ + Wie lautet die Maximalstelle $x_{max}$ der Funktion + \begin{equation*} + f(x)=exp\{-\frac{1}{2}(x-\mu)^2\} \mathrm{?} + \end{equation*} + Welchen Wert nimmt die Funktion an der Maximalstelle an? + \begin{enumerate} + \item $x_{max}=\inf$, $f(x_{max}=0)$.\item $x_{max}=\mu$, $f(x_{max}=0)$. + \item $x_{max}=0$, $f(x_{max}=1)$. + \item $x_{max}=\mu$, $f(x_{max}=1)$. + \item $x_{max}=1$, $f(x_{max}=\mu)$. + \end{enumerate} + + \item Aufgabe 7 (5 Punkte)\\ + Sei $D_f\subset \mathbb{R}$ und $f : D_f \rightarrow \mathbb{R}$ zweimal differenzierbar in einer offenen Umgebung von $x_0 \in D_f$. Ferner sei $f(x_0)=0$. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? + \begin{enumerate} + \item $f''(x)<0 \Rightarrow f$ hat ein striktes lokales Maximum in $x_0$. + \item $f''(x)>0 \Rightarrow f$ hat ein striktes lokales Minimum in $x_0$. + \item $f''(x)<0$ für alle $x \in D_f \Rightarrow f$ hat ein striktes globales Maximum in $x_0$. + \item $f''(x)>0$ für alle $x \in D_f \Rightarrow f$ hat ein striktes globales Minimum in $x_0$. + \item $x_0$ ist ein striktes lokales Minimum $\Rightarrow x_0$ ist auch ein striktes globales Minimum. + \end{enumerate} + \item Aufgabe 8 (5 Punkte)\\ + Bestimmen sie den Grenzwert + \begin{equation*} + \lim_{n \rightarrow \inf}1-\left[1-\frac{y}{c}\right]^n + \end{equation*} + für $00$. + \end{enumerate} + + \item Aufgabe 11 (6 Punkte)\\ + Bestimmen Sie mit der Lagrangemethode die kritische Stelle der Kostenfunktion + \begin{equation*} + K : \mathbb{R}^2_+ \rightarrow \mathbb{R}, \quad K(x,y)=x^2-y^2 + \end{equation*} + unter der Nebenbedingung + \begin{equation*} + g: \mathbb{R}^2_+ \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x,y)=x^3+y^3-16=0. + \end{equation*} + Die hinreichenden Bedingungen müssen nicht geprüft werden. + \begin{enumerate} + \item Kritische Stelle $ (x,y)=(2,2)$. + \item Kritische Stelle $ (x,y)=(0,0)$. + \item Kritische Stelle $ (x,y)=(12,4)$. + \item Kritische Stelle $ (x,y)=(0,4)$. + \item Kritische Stelle $ (x,y)=(4,0)$. + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{document}