\input{../settings/settings}
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\usepackage{amssymb}
\usepackage{multirow}

\begin{document}

\klausur{KTR-MfI2-B Mathematik für Informatik 2}
{Prof. Dr. U. Krieger}
{Wintersemester 17/18}
{90}
{Taschenrechner, zwei von Hand geschriebene Din-A4-Seiten}

\section*{Aufgabe 1: Lineare Gleichungssysteme und Matlab/Octave (8 + 12)}

    \begin{enumerate}
        \item [a)] Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem:
            $$\begin{array}{lllllll}
                    2x_1 & + & 4x_2 &   &      & = 0 \\
                            &   & 2x_2 & + & 2x_3 & = 2 \\
                    2x_1 & + & 4x_2 & + & 4x_3 & = 1
            \end{array}$$
            \begin{enumerate}
                \item[1)] Geben Sie eine Darstellung dieses linearen Gleichungssystems in der Form eines Matrix-Vektor-Produkts $$A\cdot x = b$$ mit Hilfe einer geeigneten Koeffizientenmatrix $A$ und dem Vektor $x$ der Variablen sowie der rechten Seite $b$ des Gleichungssystems an.
                \item[2)] Berechnen Sie die L\"osung $x \in \mathbb{R}^3$ durch die \"Uberf\"uhrung des Systems (A~~~b) in Treppennormalform und anschlie{\ss}ende L\"osung unter Verwendung des Gau{\ss}schen Algorithmus.
            \end{enumerate}

        \item [b)] Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem
            $$L\cdot x = \left( \begin{array}{cccc}
                    L_{11} & 0      & \dots  & 0      \\
                    L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\
                    \vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
                    L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn}
                \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
                    x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n
                \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
                    b_1 \\b_2\\\vdots\\b_n
                \end{array}\right)=b$$
            mit der unteren Dreiecksmatrix
            $$L = \left( \begin{array}{cccc}
                    L_{11} & 0      & \dots  & 0      \\
                    L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\
                    \vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
                    L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn}
                \end{array}\right)\in \mathbb{R}^{n\times n}, n\in\mathbb{N}, n\geq 2$$
            und nehmen Sie an, dass gilt: $\forall i \in \{1,2,\dots,n\} : L_{ii}\neq 0$.

            Der Vektor $x=\left(\begin{array}{c}
                            x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n
                        \end{array}\right)$ kann mit Hilfe des folgenden \textit{Forward-Substitution}-Algorithmus

            \begin{equation}
                x_i=\left(b_i-\sum^{i-1}_{j=1}~~L_{ij}\cdot x_j\right)/ L_{ii}~\mathrm{mit}~i \in \{1, 2, \dots, n\}
            \end{equation}

            bestimmt werden, der sukzessive die Elemente $x_i$ mit $i \in \{1, 2, \dots, n \}$ berechnet.
            \newpage
            \begin{enumerate}
                \item[1)] Implementieren Sie den \textit{Forward-Substitution}-Algorithmus als MATLAB- oder Octave-Funktion \texttt{ForSub(b, L, y)}, die f\"ur eine gegebene rechte Seite $b\in\mathbb{R}^n$ und eine invertierbare untere Dreiecksmatrix $L\in\mathbb{R}^{n\times n}$ der Dimension $ n \in \mathbb{N}, n\geq 2$, mit Diagonalelementen $L_{ii}\neq 0$ ($i \in \{ 1, 2, \dots, n \}$) als Eingabeparametern den L\"osungsvektor $x\in\mathbb{R}^n$ in (1) berechnet und diesen w\"ahrend des L\"osungsverfahrens sukzessive in den Speicherplatz des Ausgabevektors $y\in\mathbb{R}^n$ schreibt, nachdem $y$ zu Beginn des Algorithmus mit dem Nullvektor initialisiert wurde.
                \item[2)] Schreiben Sie ein MATLAB- oder Octave-Programm, das diese erstellte MATLAB- oder Octave-Funktion \texttt{ForSub} zur L\"osung des Gleichungssystems $L \cdot x = b$ mit folgenden Eingangsdaten anwendet und dann den L\"osungsvektor $x$ komponentenweise ausgibt:

                    $$L=\left(\begin{array}{ccc}
                            2 & 0 & 0 \\
                            1 & 5 & 0 \\
                            7 & 9 & 8
                        \end{array}\right),~b = \left(\begin{array}{c}
                            6 \\2\\5
                        \end{array}\right)$$

            \end{enumerate}
    \end{enumerate}

\section*{Aufgabe 2: Vektorr\"aume (6 + 6 + 8)}

    \begin{enumerate}
        \item [a)] Betrachten Sie die Vektoren
            $$a=\left(\begin{array}{c}
                    0 \\1\\1
                \end{array}\right),~b=\left(\begin{array}{c}
                    1 \\1\\1
                \end{array}\right),~c=\left(\begin{array}{c}
                    1 \\0\\1
                \end{array}\right)$$
            des $\mathbb{F}_2$-Vektorraums $\mathbb{F}^3_2$ auf dem K\"orper der bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ mit den Operationen $\{\oplus, \odot\}$ -- der Addition und Multiplikation modulo 2, d. h. f\"ur $x, y\in\mathbb{F}_2,x\oplus y = (x+y)~mod~2,\\ x \odot y = (x\cdot y)~mod~2$.\\
            Sind die Vektoren $\{a,b,c\}\subset\mathbb{F}^3_2$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort durch geeignete algebraische Argumente.
        \item [b)] Betrachten Sie die Matrizen
            $$A=\left(\begin{array}{cc}
                    0 & 1 \\
                    0 & 1 \\
                \end{array}\right),~B= \left(\begin{array}{cc}
                    0 & 0 \\
                    1 & 0
                \end{array}\right),~C = \left(\begin{array}{cc}
                    0 & 1 \\
                    1 & 0
                \end{array}\right)$$
            des Vektorraums $\mathbb{R}^{2\times 2}$.\\
            Sind die Matrizen $\{A,B,C\}\subset\mathbb{R}^{2\times 2}$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation.
        \item[c)] Weisen Sie durch eine geeignete algebraische Argumentation nach, dass die Menge
            $$U = \{v=\left(\begin{array}{c}
                    x_1 \\x_2\\x_3
                \end{array}\right)\in \mathbb{R}^{3}~|~4x_1+3x_2=0\} \subset \mathbb{R}^3$$
            ein Untervektorraum des reellen Vektorraums $V = \mathbb{R}^3$ ist.
    \end{enumerate}\newpage

\section*{Aufgabe 3: Lineare Abbildungen (6 + 6 + 4 + 4)}

    Betrachten Sie die lineare Abbildung
    $$ f: V \longrightarrow W $$
    $$ v = \left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right) \rightarrow f(v) = \left(\begin{array}{c} y\oplus z \\ x\oplus z \\ x\oplus y \end{array}\right) $$
    zwischen den $\mathbb{F}_2$-Vektorr\"aumen $V=\mathbb{F}^3_2$ und $W=\mathbb{F}^3_2$ \"uber dem K\"orper der bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$ mit den Operationen $\{\oplus,\odot\}$ -- der Addition und Multiplikation modulo 2, d.h. $x\oplus y = (x+y)~mod~2$ und $ x\odot y = (x\cdot y)~mod~2$ f\"ur $x,y\in\mathbb{F}_2$.
    \begin{itemize}
        \item [a)] W\"ahlen Sie jeweils die kanonische Basis $\mathcal{B} = \{e_1,e_2,e_3\}$ im $\mathbb{F}_2$-Vektorraum $V = \mathbb{F}^3_2$ bzw. $W=\mathbb{F}^3_2$ aus und geben Sie die der Abbildung $f$ zugeordnete Matrix $A_f$ bzgl. dieser beiden Basen an.
        \item [b)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation oder eines geeigneten Berechnungsverfahrens den Rang $rg(f)$  der Abbildung $f$.
        \item [c)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Formel, die Sie explizit angeben sollen, die Dimension $k=dim(Ker(f))$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$.
        \item [d)] Geben Sie eine Basis $\mathcal{C} = \{v_1,\dots,v_k\}$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$ an.
    \end{itemize}

\section*{Aufgabe 4: Gruppen- und Matrizenalgebra (10 + 4 + 6)}
    \begin{enumerate}
        \item [a)] Beantworten Sie folgende Fragen zur Algebra einfacher Gruppen $(G,\oplus,e)$.

        \begin{enumerate}
            \item [1)] Betrachten Sie die Gruppe $(G,\oplus,e)=(\mathbb{F}^3_2,\oplus,e)$ aller bin\"arer Tupel
                $$(a,b)\in\mathbb{F}^3_2 = \{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$$
                mit den Komponenten $a,b\in\mathbb{F}_2= \{ 0,1\}$ und der komponentenweise definierten Addition modulo 2 als Gruppenverkn\"upfung $\oplus$.

                Geben Sie das neutrale Element $e\in G$ an und berechnen Sie f\"ur $f=(1,0)$, $g=(0,1)$, $h=(1,1)$ die folgenden Gruppenelemente $k,l\in G$

                $$k = g \oplus f = $$
                $$l = g \oplus h = $$
                $$e = $$

            \item[2)] Definiert die Teilmenge
                $$U=\{(0,0),(1,0),(0,1)\}\subset \mathbb{F}^2_2=G$$
                eine Untergruppe von $(\mathbb{F}^2_2,\oplus,e)$? Geben Sie eine algebraische Begr\"undung an.

            \item[3)] Die aus drei verschiedenen Elementen bestehende Menge $G=\{e,a,h\}$ mit der additiven Verkn\"upfung $z=x\oplus y \in G $ auf zwei Gruppenelementen $x,y \in G$ kann durch eine entsprechende Verkn\"upfungstabelle T beschrieben werden (siehe unten), z. B. ergibt sich aus der Additon der Elemente $x = h$ in der vierten Zeile und $y = a$ in der dritten Spalte das Element

                $$z=x\oplus y = h \oplus a = e$$
                Erg\"anzen Sie die fehlenden Elemente in der Verkn\"upfungstabelle $T$ derart, dass $T$ eine kommutative Gruppe $(G,\oplus,e)$ definiert.

                \begin{table}[H]
                \centering
                \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}\hline
                    $\oplus$ & e & a & h \\\hline\hline
                    e & e & a & ? \\\hline
                    a & a & h & e \\\hline
                    h & ? & e & ? \\\hline
                \end{tabular}
                \end{table}
        \end{enumerate}

        \item[b)] Es seien $A=\left(\begin{array}{ccc}
            2 & 1 & 4\\
            1 & -1 & -5
        \end{array}\right),~B = \left(\begin{array}{ccc}
            4 & 1 & 0\\
            5 & 2 & 1\\
            10& 7 & 6
        \end{array}\right)$
            \begin{enumerate}
                \item[1)] Berechnen Sie das Element $C_{23}$ der Produktmatrix $C=A\cdot B$.
                \item[2)] Wie lautet die transponierte Matrix $A^t$ zu $A$?
                \item[3)] Es sei:
                $$A=\left(\begin{array}{ccc}
                    1 & 0 & 0\\
                    0 & 1 & -1\\
                    2 & -4 & 3
                \end{array}\right)$$
                Berechnen Sie die inverse Matrix $C=A^{-1}$ zu $A$
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}

\section*{Aufgabe 5: Lineare Abbildungs- und Eigenwerttheorie(4 + 6 + 10)}

    \begin{enumerate}
        \item [a)] Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix $A$:
            $$A=\left(\begin{array}{ccc}
                0.3 & 0 & 0\\
                0.7 & 0 & 1\\
                0 & 2 & 0
            \end{array}\right)$$
        \item[b)] Berechnen Sie einen Eigenvektor $v\in\mathbb{R}^2$ zum Eigenwert $\lambda = 2$ der folgenden Matrix $B$:
            $$B=\left(\begin{array}{cc}
                1 & -1\\
                -1 & 1
            \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times 2}$$
        \item[c)] Bestimmen Sie das charakteristische Polynom $p_C(\lambda) = \lambda^3+p_2\lambda^2+p_1\lambda+p_0$ der folgenden Matrix $C$ und berechnen Sie mit dessen Hilfe alle Eigenwerte $\lambda_i\in\mathbb{R}, i\in\{1,2,3\}$, der Matrix $C$:
            $$C = \left(\begin{array}{ccc}
                0.9 & 0 & 0\\
                0 & -1 & 1\\
                0.1 & -2 & 2
            \end{array}\right)$$
    \end{enumerate}

\end{document}