\input{../settings/settings}
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\usepackage{amssymb}
\usepackage{multirow}

\begin{document}

\klausur{KTR-MfI 2}
{Prof. Dr. U. Krieger)}
{Wintersemester 17/18}
{90}
{Taschenrechner, 1 Din A4 Seite doppelseitig handbeschrieben}

\begin{enumerate}
    \item Aufgabe 1 (8+12 Punkte) Lineare Gleichungssysteme und Matlab/Octave
    
	    Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen in den daf\"ur vorgegebenen Feldern an.
	    \begin{enumerate}
		    \item [a)] Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem:
		        $$\begin{array}{lllllll}
                        2x_1 & + & 4x_2 &   &      & = 0 \\
                                &   & 2x_2 & + & 2x_3 & = 2 \\
                        2x_1 & + & 4x_2 & + & 4x_3 & = 1
                \end{array}$$
                \begin{enumerate}
                    \item[1)] Geben Sie eine Darstellung dieses linearen Gleicungssystems in der Form eines Matrix-Vektor-Produkts $$A\cdot x = b$$ mit Hilfe einer geeigneten Koeffizientenmatrix $A$ und dem Vektor $x$ der Variablen sowie der rechten Seite $b$ des Gleicungssystems an.
                    \item[2)] Berechnen Sie die L\"osung $x = \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3$ durch die \"Uberf\"uhrung des Systems (A~~~b) in Treppennormalform und anschlie{\ss}ende L\"osung unter Verwendung des Gau{\ss}schen Algorithmus.
                \end{enumerate}

            \item [b)] Berechnen Sie da lineare Gleichungssystem
                $$L\cdot x = \left( \begin{array}{cccc}
                        L_{11} & 0      & \dots  & 0      \\
                        L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\
                        \vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
                        L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn}
                    \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
                        x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n
                    \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
                        b_1 \\b_2\\\vdots\\b_n
                    \end{array}\right)=b$$
                mit der unteren Dreiecksmatrix
                $$L = \left( \begin{array}{cccc}
                        L_{11} & 0      & \dots  & 0      \\
                        L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\
                        \vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
                        L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn}
                    \end{array}\right)\in \mathbb{R}^{n\times n}, n\in\mathbb{N}, n\geq 2$$
                und nehmen Sie an, dass alle Elemente $L_{ii}\neq 0,i=1,\dots,n$, sind.

                Der Vektor $x=\left(\begin{array}{c}
                                x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n
				            \end{array}\right)$ kann mit Hilfe des folgenden \textit{Forward-Substitution} Algorithmus
                \begin{equation}
                    x_i=\left(b_i-\sum^{i-1}_{j=1}~~L_{ij}\cdot x_j\right)/ L_{ii}, i=1,\dots,n
                \end{equation}
                bestimmt werden, der sukzessive die Elemente $x_i,i=1,\dots,n,$ berechnet.
                \newpage
                \begin{enumerate}
                    \item[1)] Implementieren Sie den \textit{Forward-Substitution} Algorithmus als MATLAB oder Octave Funktion $ForSub(b, L, y)$, die f\"ur eine gegebene rechte Seite $b\in\mathbb{R}^n$ und eine invertierbare untere Dreiecksmatrix $L\in\mathbb{R}^{n\times n}$ der Dimension $ n \in \mathbb{N}, n\geq 2$, mit Diagonalelementen $L_{ii}\neq 0, i=1,\dots,n$, als Eingabeparametern des L\"osungsvektor $x\in\mathbb{R}^n$ in (1) berechnet und diesen w\"ahrend des L\"osungsverfahrens sukzessive in den Speicherplatz des Ausgabevektors $y\in\mathbb{R}^n$ schreibt, nachdem $y$ zu Beginn des Algorithmus mit dem Nullvektor initialisieert wurde.
                    \item[2)] Schreiben Sie ein MATLAB oder Octave Programm, das diese erstellte MATLAB oder Octave Funktion $ForSub$ zur L\"osung des Gleichungssystems $L \cdot x = b$ mit folgenden Eingangsdaten
                        $$L=\left(\begin{array}{ccc}
                                2 & 0 & 0 \\
                                1 & 5 & 0 \\
                                7 & 9 & 8
                            \end{array}\right), b = \left(\begin{array}{c}
                                6 \\2\\5
                            \end{array}\right)$$
                        anwendet und dann den L\"osungsvektor $x$ komponentenweise ausgibt.
                \end{enumerate}
        \end{enumerate}
	\item Aufgabe 2 (6+6+8 Punkte) Vektorr\"aume
	    Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben zur Theorie der Vektorr\"aume in den daf\"ur vorgesehenen Feldern an.
	    \begin{enumerate}
		    \item [a)] Betrachten Sie die Vektoren
                $$a=\left(\begin{array}{c}
                        0 \\1\\1
                    \end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}
                        1 \\1\\1
                    \end{array}\right),c=\left(\begin{array}{c}
                        1 \\0\\1
                    \end{array}\right)$$
                des $\mathbb{F}_2$-Vektorraums $\mathbb{F}^3_2$ auf dem K\"orper deer bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2={0,1}$ mit den Operationen $\{\oplus, \odot\}$ der Addition und Multiplikation modulo 2, d. h. f\"ur $x, y\in\mathbb{F}_2,x\oplus y = (x+y)~mod~2,\\ x \odot y = (x\cdot y)~mod~2$.\\
                Sind diese drei Vektoren $\{a,b,c\}\subset\mathbb{F}^3_2$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort durch geeignete algebraische Argumente.
            \item [b)] Betrachten Sie die Matrizen
                $$A=\left(\begin{array}{cc}
                        0 & 1 \\
                        0 & 1 \\
                    \end{array}\right), B= \left(\begin{array}{cc}
                        0 & 0 \\
                        1 & 0
                    \end{array}\right), C = \left(\begin{array}{cc}
                        0 & 1 \\
                        1 & 0
                    \end{array}\right)$$
                des Vektorraums $\mathbb{R}^{2\times 2}$.\\
                Sind diese drei Matrizen $\{A,B,C\}\subset\mathbb{R}^{2\times 2}$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation.
            \item[c)] Weisen Sie durch eine geeignete algebraische Argumentation nach, dass die Menge
                $$U=\{v=\left(\begin{array}{c}
                        x_1 \\x_2\\x_3
                    \end{array}\right)\in \mathbb{R}^{3} | 4x_1+3x_2=0\} \subset \mathbb{R}^3$$
                ein Untervektorraum des reellen Vektorraums $V = \mathbb{R}^3$ ist.
        \end{enumerate}\newpage
	\item Aufgabe 3 (6+6+4+4 Punkte) Lineare Abbildungen

        Betrachten Sie die lineare Abbildung
        $$ f: V \longrightarrow W $$
	    $$ v=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)\rightarrow f(v)=\left(\begin{array}{c} y\oplus z \\ x\oplus z \\ x\oplus y \end{array}\right) $$
	    zwischen den $\mathbb{F}_2$-Vektorr\"aumen $V=\mathbb{F}^3_2$ und $W=\mathbb{F}^3_2$ \"uber dem K\"orper der bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2 = {0,1}$ mit den Operationen $\{\oplus,\odot\}$ der Addition und Multiplikation modulo 2, d.h. $x\oplus y = (x+y) mod 2, x\odot y = (x\cdot y) mod 2$ f\"ur $x,y\in\mathbb{F}_2$.
	    \begin{itemize}
		    \item [a)] W\"ahlen Sie jeweils die kanonische Basis $\mathcal{B} = \{e_1,e_2,e_3\}$ im $\mathbb{F}_2$-Vektorraum $V = \mathbb{F}^3_2$ bzw. $W=\mathbb{F}^3_2$ aus und geben Sie die der Abbildung $f$ zugeordnete Matrix $A_f$ bzgl. dieser beiden Basen an.
		    \item [b)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation oder eines geeigneten Berechnungsverfahrens den Rang $rg(f)$  der Abbildung $f$.
		    \item [c)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Formel, die Sie explizit angeben sollen, die Dimension $k=dim(Ker(f))$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$.
		    \item [d)] Geben Sie eine Basis $\mathcal{C} = \{v_1,\dots,v_k\}$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$ an.
	    \end{itemize}

	\item Aufgabe 4 (10+4+6 Punkte) Gruppen- und Matrizenalgebra
	    \begin{enumerate}
		    \item [a)] Beantworten Sie folgende Fragen zur Algebra einfacher Gruppen $(G,\oplus,e)$
                \begin{enumerate}
                    \item [1)] Betrachten Sie die Gruppe $(G,\oplus,e)=(\mathbb{F}^3_2,\oplus,e)$ aller bin\"arer Tupel
                        $$(a,b)\in\mathbb{F}^3_2 = \{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$$
                        mit den Komponenten $a,b\in\mathbb{F}_2= \{ 0,1\}$ und der komponentenweise definierten Addition modulo 2 als Gruppenverkn\"upfung $\oplus$.

                        Geben Sie das neutrale Element $e\in G$ an und berechnen Sie f\"ur $f=(1,0), g=(0,1),h=(1,1)$ die folgenden Gruppenelemente $k,l\in G$

                        $$k = g \oplus f = $$
                        $$l = g \oplus h = $$
                        $$e = $$

                    \item[2)] Definiert die Teilmenge
                        $$U=\{(0,0),(1,0),(0,1)\}\subset \mathbb{F}^2_2=G$$
                        der Untergruppe von $(\mathbb{F}^2_2,\oplus,e)$? Geben Sie eine algebraische Begr\"undung an.
                    \item[3)] Die aus drei verschiedenen Elementen besthende Menge $G={e,a,h}$ mit der additiven Verkn\"upfung $z=x\oplus y \in G $ auf zwei Gruppenelementen $x,y \in G$ kann durch eine entsprechende Verkn\"upfungstabelle T beschrieben werden (siehe unten), z.B. ergibt sich aus der Additon der Elemente $x = b$ in der 5. Zeile und $y=a$ in der 4. Spalte das Element
                        $$z=x\oplus y = b \oplus a = e$$
                        Erg\"anzen Sie die fehlenden Elemente der 5. Zeile hinter $x=b$ und der 5. Spalte unterhalb von $y=b$ in der Verkn\"upfungstabelle $T$ sowie das fehlende Element der 5. Zeile und 3. Spalte f\"ur $x=b$ und $y=e$ derart, dass $T$ eine kommutative Gruppe $(G,\oplus,e)$ definiert.

                        \begin{tabular}{|c|c||c|c|c|}\hline
                            $\oplus$ & \multicolumn{4}{|c|}{}\\\hline
                            &y= & e & a & b \\\hline\hline
                            \multirow{3}{*}{b=} & e & e & a & \\\hline
                            & a & a & b & e \\\hline
                            & b &  & e & \\\hline
                        \end{tabular}
                \end{enumerate}
            \item[b)] Es sei $A=\left(\begin{array}{ccc}
                2 & 1 & 4\\
                1 & -1 & -5
            \end{array}\right), B = \left(\begin{array}{ccc}
                4 & 1 & 0\\
                5 & 2 & 1\\
                10& 7 & 6                        
            \end{array}\right)$
                \begin{enumerate}
                    \item[1)] Berechnen Sie das Element $C_{23}$ der Produktmatrix $C=A\cdot B$
                    \item[2)] Wie lautet die transponierte Matrix $A^t$ zu $A$?
                    \item[3)] Es sei
                    $$A=\left(\begin{array}{ccc}
                        1 & 0 & 0\\
                        0 & 1 & -1\\
                        2 & -4 & 3                            
                    \end{array}\right)$$
                    Berechnen Sie die inverse Matrix $C=A^{-1}$ zu $A$ 
                \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \item Aufgabe 5(4+6+10 Punkte) Lineare Abbildungs- und Eigenwerttheorie

        Geben Sie die Ergebnisser folgender Aufgaben in den daf\"ur vorgesehenen Feldern an.
        \begin{enumerate}
            \item [a)] Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix
                $$A=\left(\begin{array}{ccc}
                    0.3 & 0 & 0\\
                    0.7 & 0 & 1\\
                    0 & 2 & 0
                \end{array}\right)$$
                $det(A)=$
            \item[b)] Berechnen Sie einen Eigenvektor $v\in\mathbb{R}^2$ zum Eigenwert $\lambda = 2$ der folgenden Matrix $B$:
                $$B=\left(\begin{array}{cc}
                    1 & -1\\
                    -1 & 1
                \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times 2}$$
            \item[c)] Bestimmen Sie das charakteristische Polinom $p(\lambda) = \lambda^3+p_2\lambda^2+p_1\lambda+p_0$ der folgenden Matrix $A$ und berechnen Sie mit dessen Hilfe alle Eigenwerte $\lambda_i\in\mathbb{R}, i\in\{1,2,3\}$, der Matrix $A$:
                $$A=\left(\begin{array}{ccc}
                    0.9 & 0 & 0\\
                    0 & -1 & 1\\
                    0.1 & -2 & 2
                \end{array}\right)$$
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{document}