\input{../settings/settings} % Mathematik \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} \usepackage{mathtools} % Referenzen \usepackage{hyperref} \begin{document} \klausur{KTR-MfI2-B Mathematik für Informatik 2)} {Prof. Dr. U. Krieger} {Sommersemester 17} {90} {Taschenrechner, zwei von Hand geschriebene DIN-A4-Seiten} % Aufgabe 1 \section{Lineare Gleichungssysteme und Matlab/Octave (8 + 12 Punkte)} \begin{enumerate} % Aufgabe 1.1 \item \begin{enumerate} \item Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem: \begin{align} x_1 + x_3 = 1 \\ 2x_1 + x_2 = 0 \\ 4x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 2 \end{align} Geben Sie eine Darstellung in der Form eines Matrix-Vektor-Produkts $A \cdot x = b$ mithilfe einer geeigneten Koeffizientenmatrix $A$, des Vektors $x$ der Variablen sowie der rechten Seite $b$ des Gleichungssystems an. % Aufgabe 1.1a \item Berechnen Sie die Lösung $x = (\begin{array}{ccc}x_1 & x_2 & x_3\end{array}) \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$. Wandeln Sie hierzu das System $(\begin{array}{cc}A & b\end{array})$ in Treppennormalform um und ermitteln Sie anschließend die Lösung mithilfe des Gaußschen Algorithmus. % Aufgabe 1.1b \item Ist das inhomogene lineare System $A \cdot x = b$ eindeutig lösbar? Begründen Sie. \end{enumerate} % Aufgabe 1.2 \item Wir betrachten den gerichteten Graphen $G = (V, E)$ des Google-Rangbildungsverfahrens. Dabei sei $V = \{ 1,2,3,4 \}$ die Menge der Knoten (Webseiten) und $E \subset V \times V$ die Menge der Kanten (Webseitenverknüpfungen durch Hyperlinks). Betrachten Sie hierzu Abbildung~\ref{fig:googlePagerank}. $e^t = (1,1,1,1) \in \mathbb{R}^{1 \times 4}$ sei ein Zeilenvektor aus Einsen und $0_4 = (0,0,0,0)^t \in \mathbb{R}^{4 \times 1}$ sei ein Spaltenvektor aus Nullen. $x = (x_1, x_2, x_3, x_4)^t \in \mathbb{R}^{4 \times 1}$ ist der Spaltenvektor des Rangwertes $x_i \in [0,1]$ der Seiten $i \in V$. \begin{enumerate} % Aufgabe 1.2a \item Betrachten Sie den Graphen $G$ in Abbildung~\ref{fig:googlePagerank}. Geben Sie die stochastische Matrix $P \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ an, welche auf Basis der gewichteten Adjenzmatrix des Graphen $G$ bei der Berechnung des Google-Rangbildungsverfahrens verwendet wird. \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=4cm]{./img/google-pagerank.pdf} \caption{Graph einer Google-Seitenrangbildung} \label{fig:googlePagerank} \end{figure} % Aufgabe 1.2b \item Geben Sie den Code eines Matlab/Octave-Programms an, mit dessen Hilfe diese soeben erzeugte Matrix $P$ dargestellt wird. % Aufgabe 1.2c \item Betrachten Sie das zum Rangbildungsverfahren gehörende lineare Gleichungssystem \begin{equation} A \cdot x = b \label{eq:lgs} \end{equation} und geben Sie ein Codesegment an, das sowohl die Systemmatrix $A$ mit der folgenden $2 \times 1$-Blockmatrixstruktur \begin{equation} A = \left( \begin{array}{c} A_{11} \\ A_{21} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} I_4 - P^t \\ e^t \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{5 \times 4}, \end{equation} als auch die rechte Seite \begin{equation} b = \left( \begin{array}{c} 0_4 \\ 1 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{5 \times 1} \end{equation} von \eqref{eq:lgs} in Matlab/Octave-Syntax wiedergibt. % Aufgabe 1.2d \item Benennen Sie eine Matlab/Octave-Funktion, welche durch die Anwendung des Gaußalgorithmus die Treppennormalform der erweiterten Systemmatrix $(\begin{array}{cc}A & b\end{array})$ berechnet. % Aufgabe 1.2e \item Geben Sie einen Matlab/Octave-Funktionsanruf am, mit dem die Lösung $x \in \mathbb{R}^4$ des linearen Systems \eqref{eq:lgs} in Matlab/Octave berechnet werden kann. \end{enumerate} \end{enumerate} % Aufgabe 2 \section{Vektorräume (5 + 7 + 8 Punkte)} \begin{enumerate} % Aufgabe 2.1 \item Betrachten Sie die Vektoren \begin{equation} a = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), b = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), c = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), \end{equation} des $\mathbb{F}_2$-Vektorraums $\mathbb{F}_2^3$ auf dem Körper der binären Elemente $\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$. Dieser enthält die Operationen $\{\oplus, \odot\}$, definiert als $\forall x,y \in \mathbb{F}_2. x \oplus y = (x + y) ~\mathrm{mod}~2, x \odot y = (x \cdot y)~\mathrm{mod}~2$. Sind diese drei Vektoren $\{a, b, c\} \subset \mathbb{F}_2^3$ linear unabhängig oder linear abhängig? Begründen Sie Ihre Antwort durch geeignete algebraische Argumente. % Aufgabe 2.2 \item Betrachten Sie die Monome $e_1(x) = 1$, $e_2(x) = x$ als Elemente des Vektorraums \begin{equation} V = \mathbb{Q}_2[x] = \{p:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}, x \mapsto p(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2~|~b_0, b_1, b_2 \in \mathbb{Q}\} \end{equation} der Polynome mit maximalem Grad 2 über dem Körper $\mathbb{K} = \mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen. Als Grundoperation stehen in $V$ die punktweise Addition und die Skalarmultiplikation zur Verfügung: \begin{align} (p + q)(x) &= p(x) + q(x) ~&\mathrm{mit}~x \in \mathbb{Q}, p(x), q(x) \in V \\ (\lambda \cdot p)(x) &= (\lambda \cdot b_0) + (\lambda \cdot b_1)x + (\lambda \cdot b_2)x^2 ~&\mathrm{mit}~x, \lambda \in \mathbb{Q}, p(x) \in V \end{align} \begin{enumerate} % Aufgabe 2.2a \item Sind die Polynome $v_1 = e_1(x)$ und $v_2 = e_2(x)$ linear abhängige oder linear unabhängige Elemente $v_1, v_2$ des $\mathbb{Q}$-Vektorraums $V = \mathbb{Q}_2[x]$? Begründen Sie Ihre Antwort durch algebraische Argumente. %Aufgabe 2.2b \item Geben Sie einen Untervektorraum $U_1 \subset V$ von $V$ der Dimension $1$ an. \end{enumerate} % Aufgabe 2.3 \item Weisen Sie durch eine geeignete algebraische Argumentation nach, dass die Menge \begin{equation} U = \{ v = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R}^3 ~|~ y - z = 0 \} \subset \mathbb{R}^3 \end{equation} ein Untervektorraum des reellen Vektorraums $V = \mathbb{R}^3$ ist. \end{enumerate} % Aufgabe 3 \section{Lineare Abbildungen (6 + 6 + 4 + 4 Punkte)} Betrachten Sie die lineare Abbildung \begin{align} f : V &\rightarrow W \\ v = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &\mapsto f(v) = \left( \begin{array}{c} x \\ 2 \cdot (x + z) \\ 2 \cdot x + z \end{array} \right) \end{align} zwischen den $\mathbb{R}$-Vektorräumen $V = \mathbb{R}^3$ und $W = \mathbb{R}^3$. \begin{enumerate} % Aufgabe 3.1 \item Wählen Sie die kanonische Basis $\mathcal{B} = \{ e_1, e_2, e_3 \}$ im $\mathbb{R}$-Vektorraum $V = \mathbb{R}^3$ bzw. $W = \mathbb{R}^3$ aus und geben Sie die der Abbildung $f$ zugeordnete Matrix $A_f$ bzgl. dieser beiden Basen an. % Aufgabe 3.2 \item Bestimmen Sie mithilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation oder eines geeigneten Berechnungsverfahrens den Rang $rg(f)$ der Abbildung $f$. % Aufgabe 3.3 \item Bestimmen Sie mithilfe einer geeigneten Formel, die Sie explizit angeben sollen, die Dimension $k = \mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(f))$ des Kerns $\mathrm{Ker}(f)$ der Abbildung $f$. % Aufgabe 3.4 \item Geben Sie eine Basis $\mathcal{C} = \{v_1,...,v_k\}$ des Kerns $\mathrm{Ker}(f)$ der Abbildung $f$ an. \end{enumerate} % Aufgabe 4 \section{Gruppentheorie und Matrizenalgebra (8 + 6 + 6 Punkte)} \begin{enumerate} % Aufgabe 4.1 \item Wir betrachten die Einheitengruppe $E(\mathbb{Z}) = \{1, -1\}$, die aus dem Monoid $(\mathbb{Z}, \cdot, 1)$ der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ bei Verwendung der Multiplikation $\cdot$ als Grundoperation hervorgeht. Dann definiert die komponentenweise Multiplikation auf $(\mathbb{Z}, \cdot)$ in der Form \begin{equation} x \otimes y = (a, b) \otimes (c, d) = (a \cdot c, b \cdot d) ~\mathrm{mit}~ x = (a, b), y = (c, d) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{equation} eine neue Multiplikationsoperation $\otimes$ auf dem Produktmonoid $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, \otimes, e)$ und \begin{equation} G = E(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) = \{(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)\} \end{equation} wird zur Einheitengruppe. \begin{enumerate} % Aufgabe 4.1.1 \item Ergänzen Sie die folgende Verknüpfungstabelle der Teilmenge $U = \{g_1, g_2\} = \{ (1, 1), (1, -1) \} \subset G$, die sich bei der Multiplikation $z_{i,j} = g_i \otimes g_j \in G = E(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})$ der Elemente $g_i, g_j, i, j \in \{1,2\}$ ergeben: \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline $\otimes$ & $g_1 = (1, 1)$ & $g_2 = (1, -1)$ \\ \hline $g_1 = (1, 1)$ & & \\ \hline $g_2 = (1, -1)$ & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} % Aufgabe 4.1.2 \item Wie lautet das inverse Element $g^{-1}_2$ zu $g_2 = (1, -1)$? % Aufgabe 4.1.3 \item Um welche algebraische Teilstruktur der Gruppe $(G, \otimes)$ handelt es sich bei $(U, \otimes)$? \end{enumerate} % Aufgabe 4.2 \item Es sei $A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & -10 \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \end{array} \right)$. \begin{enumerate} % Aufgabe 4.2.1 \item Berechnen Sie das Element $C_{12}$ der Produktmatrix $C = A \cdot B$. % Aufgabe 4.2.2 \item Wie lautet die transponierte Matrix $B^t$ zu $B$? \end{enumerate} % Aufgabe 4.3 \item Es sei $A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$. Berechnen Sie die inverse Matrix $C = A^{-1}$ zu $A$. \end{enumerate} % Aufgabe 5 \section{Lineare Abbildungs- und Eigenwerttheorie (2 + 8 + 10 Punkte)} \begin{enumerate} % Aufgabe 5.1 \item Es seien feste Basen in den reellwertigen Vektorräumen $V = \mathbb{R}^k$ und $W = \mathbb{R}^m$ gewählt und \begin{equation} A_f = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 & - 4 \\ -2 & -5 & 8 \\ 3 & 6 & -18 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation} sei die der linearen Abbildung $f : V \rightarrow W$ zugeordnete Matrix. Geben Sie die Dimensionen $k, m \in \mathbb{N}_0$ der zugrunde liegenden Vektorräume $V$ und $W$ an. % Aufgabe 5.2 \item Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen: \begin{equation} A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right) \end{equation} % Aufgabe 5.3 \item Bestimmen Sie das charakteristische Polynom $p(\lambda) = \lambda^3 + p_2\lambda^2 + p_1\lambda + p_0$ der folgenden Matrix $A$ und berechnen Sie mit dessen Hilfe alle Eigenwerte $\lambda_i, i \in \{1, 2, 3\}$ der Matrix. \begin{equation} A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation} \end{enumerate} \end{document}