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\begin{document}
	\klausur{WiMa-B-02a Wirtschatfsmathematik II}
		{Prof. Dr. Christian Aßmann}
		{Sommersemester 17}
		{90}
		{Taschenrechner, Formelsammlung, Handbeschriebenes DIN A4 Blatt (beidseitig)}

	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Aufgabe 1 (5 Punkte)}\\
		Berechnung Sie das Skalarprodukt $x' \cdot y$ für die Vektoren\\
		
		% pmatrix requires amsmath package
		$ x =
		\begin{pmatrix}
		1 \\
		2 \\
		3
		\end{pmatrix}
		$
		und
		$ y =
		\begin{pmatrix}
		1 \\
		2 \\
		4
		\end{pmatrix}
		$\\
	
		\begin{enumerate}
			\item $x' \cdot y = 13$.
			\item $x' \cdot y = 14$.
			\item $x' \cdot y = 15$.
			\item $x' \cdot y = 16$.
			\item $x' \cdot y = 17$.
		\end{enumerate}

		\item \textbf{Aufgabe 2 (5 Punkte)}\\
		Berechnen Sie $x \cdot y'$ für Vektoren\\
		
		$ x =
		\begin{pmatrix}
		1 \\
		2 \\
		3
		\end{pmatrix}
		$
		und
		$ y =
		\begin{pmatrix}
		1 \\
		2 \\
		4
		\end{pmatrix}
		$\\
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			$ x \cdot y' =
			\begin{pmatrix}
			1&2 \\
			2&4
			\end{pmatrix}
			$
			\item 
			$ x \cdot y' =
			\begin{pmatrix}
			1&2&4 \\
			2&4&8 \\
			3&6&12
			\end{pmatrix}
			$
			\item 
			$ x \cdot y' =
			\begin{pmatrix}
			1&2&3 \\
			2&4&6 \\
			4&6&9
			\end{pmatrix}
			$
			\item 
			$ x \cdot y' =
			\begin{pmatrix}
			1&3&4 \\
			3&2&6 \\
			4&6&16
			\end{pmatrix}
			$
			\item 
			$ x \cdot y' =
			\begin{pmatrix}
			1&4&4 \\
			2&4&4 \\
			6&4&16
			\end{pmatrix}
			$
		\end{enumerate}
		
		\newpage
		\item \textbf{Aufgabe 3 (6 Punkte)}\\
		Berechnen Sie das Integral
		
		$$ A = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \ln(4x^2)dx. $$
		
		\begin{enumerate}
			\item $A = 0,2863$.
			\item $A = 0,4201$.
			\item $A = 0,3004$.
			\item $A = 0,3863$.
			\item $A = 0,2003$.
		\end{enumerate}
		
		\item \textbf{Aufgabe 4 (5 Punkte)}\\
		Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?
		
		\begin{enumerate}
			\item Das Skalarprodukt ist ein Spezialfall des Matrizenprodukts.
			\item Beim Matrizenprodukt $x \cdot y$ muss die Spaltenzahl von $x$ mit der Zeilenanzahl von $y$ übereinstimmen.
			\item Das Matrizenprodukt ist nur für quadratische Matrizen definiert.
			\item Wenn das Ergebnis eines Matrizenprodukts existiert, kann es immer in Form einer Matrix dargestellt werden.
			\item Beim Matrizenprodukt $x \cdot y$ muss die Zeilenanzahl von $x$ nicht mit der Spaltenanzahl von $y$ übereinstimmen.
		\end{enumerate}
	
		\item \textbf{Aufgabe 5 (5 Punkte)}\\
		Berechnen Sie die Inverse $X^-1$ der Matrix
		$$ X =
		\begin{pmatrix}
		1&4 \\
		2&5
		\end{pmatrix},
		$$
		sofern diese existiert und berechnen Sie die Summe der beiden Hauptdiagonalelemente der inversen Matrix, d.h. die Spur der inversen Matrix $tr(X^-1)$.
		
		\begin{enumerate}
			\item $X^-1$ existiert nicht.
			\item $tr(X^-1) = -2$.
			\item $tr(X^-1) = 2$.
			\item $tr(X^-1) = 0$.
			\item $tr(X^-1) = 1$.
		\end{enumerate}
		
		\newpage
		\item \textbf{Aufgabe 6 (Punkte)}\\
		Die drei Vektoren\\
		
		$ x =
		\begin{pmatrix}
		1 \\
		2 \\
		3
		\end{pmatrix}
		$
		,
		$ y =
		\begin{pmatrix}
		-1 \\
		-3 \\
		-2
		\end{pmatrix}
		$
		und
		$ z =
		\begin{pmatrix}
		1 \\
		-2 \\
		7
		\end{pmatrix}
		$\\
		
		sind linear abhängig. Wie lautet demnach eine Linearkombination für die gilt
		
		$$ ax + by + cz = 0 ?$$
		
		\begin{enumerate}
			\item $a = 5, b = 4, c = -1$.
			\item $a = 5, b = -4, c = -1$.
			\item $a = 4, b = 5, c = 2$.
			\item $a = -4, b = -5, c = 2$.
			\item $a = -3, b = 4, c = -2$.
		\end{enumerate}
	
		\item \textbf{Aufgabe 7 (5 Punkte)}\\
		Berechnen Sie $det(A)$ für
		$$ A =
		\begin{pmatrix}
		2&0&1&4 \\
		3&0&-4&-2 \\
		2&0&-1&0 \\
		11&8&-4&6 \\
		\end{pmatrix}
		$$
		
		\begin{enumerate}
			\item $det(A) = 94$.
			\item $det(A) = 104$.
			\item $det(A) = 96$.
			\item $det(A) = 92$.
			\item $det(A) = 88$.
		\end{enumerate}
	
		\newpage
		\item \textbf{Aufgabe 8 (5 Punkte)}\\
		Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
		
		\begin{enumerate}
			\item Der Nullvektor ist immer linear abhängig.
			\item Ein Vektor $x \in R^n$ ist genau dann linear unabhängig, wenn $x \neq 0$.
			\item Zwei Vektoren im $R^n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen.
			\item Drei Vektoren im $R^n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht auf einer Ebene liegen.
			\item Die Einheitsvektoren $e_1,...,e_n \in R^n$ sind linear abhängig.
		\end{enumerate}
	
		\item \textbf{Aufgabe 9 (6 Punkte)}\\
		Welche der folgenden Operationen ist für\\
		
		$ A =
		\begin{pmatrix}
		1&2&3 \\
		6&5&4 \\
		4&3&7
		\end{pmatrix}
		$
		,
		$ B =
		\begin{pmatrix}
		5&-2&3 \\
		-1&2&9 \\
		1&-2&-9
		\end{pmatrix}
		$
		und
		$ C =
		\begin{pmatrix}
		4&5 \\
		1&3 \\
		2&7
		\end{pmatrix}
		$\\
		
		definiert?
		
		\begin{enumerate}
			\item $(A' + B)\,C$.
			\item $(A' + B)\,C'$.
			\item $(A + B)\,C'$.
			\item $BC'$.
			\item $B^{-1} C$.
		\end{enumerate}
		
		\item \textbf{Aufgabe 10 (? Punkte)}\\
		Wie lauten die Eigenwerte der Matrix\\
		
		$ A =
		\begin{pmatrix}
		2&-2&3 \\
		0&3&-2 \\
		0&-1&2
		\end{pmatrix}?
		$\\
		
		\begin{enumerate}
			\item $\lambda_{1} = 1, \lambda_{2} = 4, \lambda_{3} = 7$.
			\item $\lambda_{1} = 3, \lambda_{2} = 5, \lambda_{3} = 1$.
			\item $\lambda_{1} = 2, \lambda_{2} = 4, \lambda_{3} = 6$.
			\item $\lambda_{1} = 2, \lambda_{2} = 3, \lambda_{3} = 7$.
			\item $\lambda_{1} = 2, \lambda_{2} = 4, \lambda_{3} = 1$.
		\end{enumerate}
		
		\newpage	
		\item \textbf{Aufgabe 11 (6 Punkte)}\\
		Ein Verleger produziert ein neues Buch in drei Varianten, als Taschenbuch ($T$), als Deluxe-Ausgabe ($D$) und als Buchclub-Ausgabe ($B$). Die Produktion eines Taschenbuchs erfordert 1 Minute Heften ($H$) und 2 Minuten Leimen ($L$), eine Deluxe-Ausgabe 3 Minuten Heften und 5 Minuten Leimen und eine Buchclub-Ausgabe 2 Minuten Heften und 4 Minuten Leimen. Die Heftmaschine ist täglich 360 Minuten frei, die Leimmaschine täglich 660 Minuten. Das Produktionsproblem des Verlegers kann damit als inhomogenes lineares Gleichungssystem
		\begin{equation*}
		\begin{pmatrix}
		1 & 3 & 2 \\
		2 & 5 & 4 
		\end{pmatrix}
		\begin{pmatrix}
		T \\
		D \\
		B \\
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix}
		360 \\
		660 \\
		\end{pmatrix}
		\end{equation*}
		dargestellt werden. Wie lautet die allgemeine Lösungsmenge $L$? Beachten Sie, dass nur positive Anzahlen produzierter Bücher ökonomisch sinnvoll sind.
		\begin{enumerate}
			\item $L=\left\{\begin{pmatrix}
			T \\ D \\ B \\
			\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}
			T \\ D \\ B \\
			\end{pmatrix}
			=
			\begin{pmatrix}
			180 \\ 60 \\ 0
			\end{pmatrix}
			+r \begin{pmatrix}
			-2 \\ 0 \\ 1 \\
			\end{pmatrix},\ r \in [0,90]\right\}$
			\item $L=\{\} $
			\item $L=\left\{\begin{pmatrix}
			T \\ D \\ B \\
			\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}
			T \\ D \\ B \\
			\end{pmatrix}
			=
			\begin{pmatrix}
			180 \\ 60 \\ 120
			\end{pmatrix}
			+r \begin{pmatrix}
			-2 \\ -1 \\ 1 \\
			\end{pmatrix},\ r \in [0,90]\right\}$ 
			\item $L=\begin{pmatrix}
			T \\ D \\ B \\
			\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
			120 \\ 180 \\ 60 \\
			\end{pmatrix}$
			\item $L=\left\{\begin{pmatrix}
			T \\ D \\ B \\
			\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}
			T \\ D \\ B \\
			\end{pmatrix}
			=
			\begin{pmatrix}
			180 \\ 60 \\ 0
			\end{pmatrix}
			+r \begin{pmatrix}
			-2 \\ 0 \\ 1 \\
			\end{pmatrix},\ r \in [-10,90]\right\}$
		\end{enumerate}	
	\end{enumerate}	
\end{document}