\input{../settings/settings}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
	\klausur{WiMa-B-02a Wirtschaftsmathematik 2}
		{Prof. Dr. Christian Aßmann}
		{Wintersemester 17/18}
		{60}
		{Taschenrechner, Formelsammlung, ein handbeschriebenes DIN A4 Blatt (beidseitig)}

	\section*{Aufgabe 1 (4 Punkte)}
		Bestimmen Sie, falls möglich, den Homogenitätsgrad der Funktion
		\begin{equation*}
			f: \mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R},  \qquad f(x,y) = y \ln(2^{x})
		\end{equation*}
		
		\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
			\item 0
			\item 1
			\item 2
			\item $\ln(2)$
			\item $f(x,y)$ ist nicht homogen
		\end{enumerate}
	
	\section*{Aufgabe 2 (4 Punkte)}
		Die Funktion
		
		\begin{equation*}
			f(x) = \frac{x+2}{x-1},
		\end{equation*}
		
		\noindent
		mit $x\neq 1$, besitzt an der Stelle $x_{0}=2$ die Tangente
		
		\begin{equation*}
		g(x) = -3x+10,
		\end{equation*}
		
		\noindent
		was sie nicht zu prüfen brauchen.
		Approximieren Sie den Funktionswert von $f(x)$ an der Stelle $x_{1}=3$ durch die Tangende
		und geben Sie den absoluten Approximationsfehler $\delta f$ an.
		
		\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
			\item $\delta f = 3$
			\item $\delta f = 0$
			\item $\delta f = 1,5$
			\item $\delta f = 3,5$
			\item $\delta f= -1,5$
		\end{enumerate}

	\newpage
	\section*{Aufgabe 3 (6 Punkte)}
		Bestimmen Sie für die Funktion
		
		\begin{equation*}
			f: = \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \qquad f(x)=\sqrt{x^{2}+1}
		\end{equation*}
		
		\noindent
		das Taylorpolynom 2. Grades $T^{2}_{f}(x)$ mit der Entwicklungsstelle $x_{0}=0$.
		
		\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
			\item $1+\frac{1}{2}x^{2}$
			\item $1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x^{2}$
			\item $x+\frac{1}{2}x^{2}$
			\item $1-\frac{1}{4}x^{2}$
			\item $\frac{1}{2}x^{2}$
		\end{enumerate}
	
	\section*{Aufgabe 4 (5 Punkte)}
		Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
		\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
			\item Das Matrizenprodukt $A \cdot B$ ist definiert für zwei beliebige Matrizen 
				$A \in \mathcal{M}_{m,n}$ und $B \in \mathcal{M}_{r,s}$ mit $n=r$.
			\item Der Nullvektor ist immer linear unabhängig.
			\item Ist eine Matrix $\tilde{A}$ durch endlich viele elementare Zeilenumformungen aus
				der Matrix $A$ entstanden, so besitzen $A$ und $\tilde{A}$ den gleichen Rang.
			\item Eine Matrix $A \in \mathcal{M}_{n}$ ist invertierbar, wenn $rg(A)=n$ gilt.
			\item Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems enthält immer den Nullpunkt.
		\end{enumerate}
	
	\section*{Aufgabe 5 (6 Punkte)}
		Lösen Sie das bestimmte Integral
		
		\begin{equation*}
			\int^{b}_{1} x\ln(x)dx,
		\end{equation*}
		
		\noindent
		mit $b>1$, mittels partieller Integration.
		
		\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
			\item $b\ln(b)-b+1$
			\item $\frac{1}{2}b^{2}\ln(b)-\frac{1}{4}b^{2}+\frac{1}{4}$
			\item $b-1$
			\item $b\ln(b)$
			\item $\frac{b^{2}-1}{2}\ln(b)$
		\end{enumerate}
	
	\section*{Aufgabe 6 (4 Punkte)}
		Berechnen Sie
		\begin{equation*}
			(a+b)^{T}\cdot c
		\end{equation*}
		
		\noindent
		für die Vektoren
		
		\begin{equation*}
			a=
			\begin{pmatrix}
				1\\
				4\\
				-2\\
			\end{pmatrix}
			, \qquad
			b=
			\begin{pmatrix}
				0\\
				-3\\
				3\\
			\end{pmatrix}
			, \qquad
			c=
			\begin{pmatrix}
				8\\
				5\\
				2\\
			\end{pmatrix}
			.
		\end{equation*}
		
		\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
			\item 13.
			\item 14.
			\item 15.
			\item 16.
			\item 17.
		\end{enumerate}
	
	\section*{Aufgabe 7 (5 Punkte)}
		Seien die Matrizen
		
		\begin{equation*}
			A \in \mathcal{M}_{m,n}, B \in \mathcal{M}_{p,q} und C \in \mathcal{M}_{r,s}
		\end{equation*}
		
		\noindent
		Welche Bedingungen müssen $m,n,p,q,r,s \in \mathbb{N}$ erfüllen, damit
		
		\begin{equation*}
			A \cdot (B+C^{T})
		\end{equation*}
		
		\noindent
		definiert ist?
		
		\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
			\item $n=p=r$
			\item $m=r$ und $p=q=s$
			\item $n=p=s$ und $q=r$
			\item $m=s$ und $p=q=r$
			\item $m=p=s$ und $n=q=r$
		\end{enumerate}
	
	\newpage
	\section*{Aufgabe 8 (5 Punkte)}
		Berechnen Sie die fehlenden Werte $\theta _{1}$ und $\theta _{2}$ in der Matrizenmultiplikation
		
		\begin{equation*}
			\begin{pmatrix}
				\theta _{1} & 3 & 5\\
				2 & 4 & 6\\
			\end{pmatrix}
			\cdot
			\begin{pmatrix}
				1 & 4\\
				2 & 5\\
				3 & 6\\
			\end{pmatrix}
			=
			\begin{pmatrix}
				20 & 41\\
				28 & \theta _{2}\\
			\end{pmatrix}
		\end{equation*}
		
		\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
			\item $\theta _{1}=20, \theta _{2}=36$
			\item $\theta _{1}=1, \theta _{2}=60$
			\item $\theta _{1}=12, \theta _{2}=51$
			\item $\theta _{1}=1, \theta _{2}=36$
			\item $\theta _{1}=-1, \theta _{2}=64$
		\end{enumerate}
	
	\section*{Aufgabe 9 (5 Punkte)}
		Bestimmen Sie die Inverse $X^{-1}$ der Matrix
		
		\begin{equation*}
			X =
			\begin{pmatrix}
				2 & 4\\
				-5 & \theta\\
			\end{pmatrix}
		\end{equation*}
		
		\noindent
		in Abhängigkeit von $\theta$. Für welche Werte von  $\theta$ existiert die Inverse der Matrix $X$?
		Berechnen Sie auch die Summe der beiden Hauptdiagonalelemente der inversen Matrix, d.h. die Spur der inversen Matrix $tr(X^{-1})$.
		
		\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
			\item $\theta \neq 10, tr(X^{-1}) = \frac{2+\theta}{2\theta-20}$
			\item $\theta \neq -10, tr(X^{-1}) = 2 + \theta$
			\item $\theta \neq 5, tr(X^{-1}) = \frac{\theta}{\theta - 5}$
			\item $\theta \neq -10, tr(X^{-1}) = \frac{2 + \theta}{2\theta + 20}$
			\item $\theta \neq -5, tr(X^{-1}) = \frac{\theta - 3}{2\theta + 10}$
		\end{enumerate}
	
	\newpage
	\section*{Aufgabe 10 (6 Punkte)}
		Wie lautet die allgemeine Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems?
		
		\begin{equation*}
			\begin{pmatrix}
				1 & 3 & 2 & 0\\
				0 & 3 & -3 & 3\\
				1 & 2 & 3 & -1\\
			\end{pmatrix}
			\cdot
			\begin{pmatrix}
				x_{1}\\
				x_{2}\\
				x_{3}\\
				x_{4}\\
			\end{pmatrix}
			=
			\begin{pmatrix}
				0\\
				6\\
				-2\\
			\end{pmatrix}
		\end{equation*}
		
		\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
			\item $\mathbb{L} = \theta$
			\item  $\mathbb{L} =
				\left\{
				\begin{pmatrix}
					x_{1}\\
					x_{2}\\
					x_{3}\\
					x_{4}\\
				\end{pmatrix}
				\vert
				\begin{pmatrix}
					x_{1}\\
					x_{2}\\
					x_{3}\\
					x_{4}\\
				\end{pmatrix}
				=
				\begin{pmatrix}
					-6\\
					2\\
					0\\
					0\\
				\end{pmatrix}
				+r_{1}\cdot
				\begin{pmatrix}
					-5\\
					1\\
					1\\
					0\\
				\end{pmatrix}
				+r_{2}\cdot
				\begin{pmatrix}
					3\\
					-1\\
					0\\
					1\\
				\end{pmatrix}
				; \quad r_{1},2_{2} \in \mathbb{R}
				\right\}
				$
			
			\item $\mathbb{L} =
				\left\{
				\begin{pmatrix}
					x_{1}\\
					x_{2}\\
					x_{3}\\
					x_{4}\\
				\end{pmatrix}
				=
				\begin{pmatrix}
					-6\\
					2\\
					4\\
					-2\\
				\end{pmatrix}
				\right\}
			$
			\item  $\mathbb{L} =
				\left\{
				\begin{pmatrix}
				x_{1}\\
				x_{2}\\
				x_{3}\\
				x_{4}\\
				\end{pmatrix}
				\vert
				\begin{pmatrix}
				x_{1}\\
				x_{2}\\
				x_{3}\\
				x_{4}\\
				\end{pmatrix}
				=
				\begin{pmatrix}
				6\\
				-2\\
				0\\
				0\\
				\end{pmatrix}
				+r_{1}\cdot
				\begin{pmatrix}
				5\\
				-1\\
				1\\
				0\\
				\end{pmatrix}
				+r_{2}\cdot
				\begin{pmatrix}
				-3\\
				1\\
				0\\
				1\\
				\end{pmatrix}
				; \quad r_{1},2_{2} \in \mathbb{R}
				\right\}
				$
			\item  $\mathbb{L} =
				\left\{
				\begin{pmatrix}
				x_{1}\\
				x_{2}\\
				x_{3}\\
				x_{4}\\
				\end{pmatrix}
				\vert
				\begin{pmatrix}
				x_{1}\\
				x_{2}\\
				x_{3}\\
				x_{4}\\
				\end{pmatrix}
				=
				\begin{pmatrix}
				-6\\
				2\\
				-2\\
				0\\
				\end{pmatrix}
				+r \cdot
				\begin{pmatrix}
				-5\\
				3\\
				1\\
				1\\
				\end{pmatrix}
				; \quad r_{1},2_{2} \in \mathbb{R}
				\right\}
				$
		\end{enumerate}
	
	\newpage
	\section*{Aufgabe 11 (5 Punkte)}
		Die Matrix
		\begin{equation*}
			A =
			\begin{pmatrix}
				a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
				a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
				a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
			\end{pmatrix}
		\end{equation*}
		besitzt die Determinante $det(A)=10$. Betrachten Sie die Matrix
		\begin{equation*}
			A^{*} =
			\begin{pmatrix}
			a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
			a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
			2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33}\\
			\end{pmatrix}
			,
		\end{equation*}
		die durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen aus $A$ und 
		Transponieren entstanden ist. Wie lautet die Determinante $det(A^{*})$.
		
		\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
			\item $det(A^{*})=-5$
			\item $det(A^{*})=-20$
			\item $det(A^{*})=10$
			\item $det(A^{*})=20$
			\item $det(A^{*})=\frac{1}{20}$
		\end{enumerate}
	
	\section*{Aufgabe 12 (5 Punkte)}
		Wie lauten die Eigenwerte der Matrix
		\begin{equation*}
			A =
			\begin{pmatrix}
			7 & 0 & 0\\
			-1 & -3 & 0\\
			2 & -4 & 5\\
			\end{pmatrix}
		?
		\end{equation*}
		
		\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
			\item $\lambda_{1}=-4,\lambda_{2}=4,\lambda_{3}=6$
			\item $\lambda_{1}=3,\lambda_{2}=-5,\lambda_{3}=-7$
			\item $\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=4,\lambda_{3}=2$
			\item $\lambda_{1}=-3,\lambda_{2}=5,\lambda_{3}=7$
			\item $\lambda_{1}=2,\lambda_{2}=3,\lambda_{3}=0$
		\end{enumerate}
\end{document}
%			\image{1}{Capture3.PNG}{DNS-Anfrage}{DNS-Anfrage} 