\input{../settings/settings}

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\begin{document}
\klausur{Mathe für Informatiker 2}{Prof. Dr. U. Krieger}{Sommersemester 13}{90}{Taschenrechner, Handbeschriebenes DinA4 Blatt}
\section{Aufgabe, Punkte (14 + 6)}
Lineare Gleichungsysteme und Matlab.

\begin{enumerate}

\item Betrachten Sie das LGS U * x = b;\\\\
$
\begin{pmatrix}
	u_{11} & u_{12} & \ddots & u_{1n} \\ 
	0 & u_{12} & \ddots & \vdots \\ 
	0 & 0 & \ddots & u_{nn}
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots\\
b_{n}
\end{pmatrix}
$
\\\\
Mit der oberen Dreiecksmatrix U. Wobei:\\\\
$
U \in \mathbb{R} ^{n \times n}, n \in \mathbb{N}, n \leq 2,u_{ii} \neq 0, i=1 ... n
$

\begin{enumerate}
\item Geben Sie einen einfachen Algorithmus zur Berechnung des Lösungsvektors  $x \in \mathbb{R}^{n}.$ an.

\item Geben Sie auf Basis ihrers Algorithmus ein Matlab oder Oktav Programm für die Berechnung des Lösungsvektors x an.

\end{enumerate}

\item Betrachten Sie folgendes LGS\\\\
$
\begin{array}{lcl}
2x_{1} + x_{2} + x_{3} & = & 1\\
2x_{2} + x_{3} &=& 0\\
x_{3} &=& 1
\end{array}
$
\begin{enumerate}
\item Geben Sie das LGS in Matrix-Vektor Darstellung an. $ A*x=b$
\item Ist das System eindeutig lösbar? Begründen Sie.
\end{enumerate}

\end{enumerate} %ende Aufgabe 1

\section{Aufgabe, Punkte (3 + 10 + 7)}
Vektorräume

\begin{enumerate}
\item Gegeben sind die Vektoren\\
$
 a = \begin{pmatrix}
 2\\0\\0
 \end{pmatrix}
 b = \begin{pmatrix}
 -1\\0\\2
 \end{pmatrix}
 c = \begin{pmatrix}
  1\\0\\2
 \end{pmatrix}
$
des Vektorraums $ \mathbb{R}^{3}$

\begin{enumerate}
\item Sind die drei Vektoren $ \{a, b, c\} \in \mathbb{R}^{3}$ linear-unabhängig oder linear-abhängig? Begründen Sie durch Rechnung.
\end{enumerate}

\item Gegeben sind die Matrizen:\\

$A=\begin{pmatrix}
1/2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix}
1/2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
C=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
$\\\\
des Vektorraums $\mathbb{R}^{3 \times 3}$

\begin{enumerate}
\item Sind die Matrizen \{A,B,C\} $\in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ linarunabhängig oder linarabhängig?
\item Bestimmen Sie die max. Anzahl der linear unabhängigen Elemente der Menge \{A,B,C\}. Begründen Sie durch algebr. Argumente.
\end{enumerate}

\item Gegeben sei folgende reelwertige 2x2 Matrix\\

$\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2x2}$\\\\
mit Elementen $Aij \in \{1,-1\} \subset \mathbb{R}, 1 \leq i \leq 2; 1 \leq j \leq 2 $

\begin{enumerate}
\item Beweisen Sie durch eine geeignete algeb. Argumentation, dass die Teilmenge $ U:= \{y\in\mathbb{R}^{2}:0=2*y-A-y\} \subseteq \mathbb{R}^{2}$ in Abhängigkeit von Vektor y des reelen Vektorraums $V=\mathbb{R}^{2}$ ein UnterVektorRaum von V ist.

\item Welchem Typ gehört die Matrix A an?
\end{enumerate}

\end{enumerate} %ende aufgabe2

\section{Aufgabe, Punkte (9+6+3+2)}

Betrachten Sie die lin. Abbildung.\\

$ f : V \to W$\\\\

$v = \begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\to
f(v)= 
\begin{pmatrix}
2(x+y+z)\\
z+y+x\\
z
\end{pmatrix}$\\\\

Mit $ V = \mathbb{R}^{3}, W=\mathbb{R}^{3}$

\begin{enumerate}

\item Wählen Sie je die kanonische Basis $B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ im $\mathbb{R}$ Vektorraum $V=\mathbb{R}^{3}$ aus. Geben Sie die der Abb. f zugeordnete Matrix $A_f$ bezgl. dieser Basen an.

\item Bestimmen Sie den Rang $rg(f)$ der Abbildung f.
\item Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Formel, die sie explizit angeben sollen, mit Hilfe des Ranges $rg(f)$ die Dimension $k = dim(Ker(f))$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung f.
\item Ist f eine birektive lineare Abbildung? Begründen Sie kurz.

\end{enumerate} %ende Aufgabe 3
\newpage
\section{Aufgabe, Punkte(8+6+6)}
Matrizenalgebra\\

\begin{enumerate}
\item Gegeben: 
 $A=\begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 
\end{pmatrix}$

\begin{enumerate}
\item Wie lautet die transponierte Matix $A^{t}$ zu A?
\item Geben Sie den Rang $rg(A^{t})$ von $A^{t}$ an.
\end{enumerate}

\item Es sei: 
$A=\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
3 & 2
\end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0 & 1\\
1 & -5 & 6 & 0
\end{pmatrix}$

\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie das Element $C_{23}$ des Matrixprodukts $C=A*B$
\item Geben Sie die Dimensionsvariablen $n,m$ der Produkt Matrix\\ $C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ an.

\item Es sei $A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 \\
-2 & 1 & 1
\end{pmatrix}$ \\\\
Berechnen Sie die inverse Matrix $C=A^{-1}$ zu $A$.

\end{enumerate}

\end{enumerate} %ende Aufgabe 4

\section{Aufgabe, Punkte(4 + 8 + 8)}
Lineare Abbildungen und Eigenwerte.

\begin{enumerate}
\item Es seien feste Basen der reelwertigen Vektorraum $V = \mathbb{R}^{k}$ und $W=\mathbb{R}^{m}$ gewählt und \\
$A_{f}\begin{pmatrix}
2 & 4 & -2 & 1 & 0 \\
-2 & -5 & 7 & 3 & 1\\
3 & 7 & -8 & 6 & 0
\end{pmatrix}$\\
sei die der linearen Abbildung $f: V\to W$ zugeordnete Matrix.\\
Geben Sie die Dimensionen $k, m \in \mathbb{N}$ der zugrunde liegenden Vektorräume an.

\item Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix durch andwendung einern geeigneten Laplace Entwicklung.

$A=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0,7 & 0\\
0 & 0 & 0,3 & 1
\end{pmatrix}$

\item Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \in \mathbb{R}$ der folgenden Matrix.

$A=\begin{pmatrix}
0,1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 \\
0,9 & 1 & 0 
\end{pmatrix}$

\end{enumerate} %ende Aufgabe 5
\end{document}