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\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}
	\klausur{WiMa-B-01a Wirtschaftsmathematik 1}
		{Prof. Dr. Christian Aßmann}
		{Wintersemester 17/18}
		{60}
		{Taschenrechner, Formelsammlung,  1 handbeschriebenes DIN-A-4-Blatt}

	\begin{enumerate}
		\item Aufgabe 1 (5 Punkte)\\
			Geben sie die Lösungsmenge der Gleichung
				\begin{equation*}
					| x- 3 | = 2
				\end{equation*}
			an.
				\begin{enumerate}
					\item $L={x|x<3} $
					\item $L=\{\} $
					\item $L={1;5} $
					\item $L={x|x>3} $
					\item $L={x|x<1} $
				\end{enumerate}

		\item Aufgabe 2 (6 Punkte)\\
			Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
			\begin{enumerate}
				\item Sei $f(x)=log_a(x)$. Dann gilt $f'(x)=\frac{1}{x\ln a}$ mit $a>0$ und $a\neq1$.
				\item Sei $h(x)=exp\{g(x)\}$. Dann gilt $h'(x)=g'(x)exp\{g(x)\}$.
				\item $\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h-f(x)}{h} = f'(x)$, sofern der Grenzwert existiert.
				\item Sei $ g(x) = f(x) + c $ für $c \in \mathbb{R}$. Dann gilt $g'(x) = f'(x)+c$.
				\item Sei $ f(x)=\ln x $. Dann gilt $f'(x)=\frac{1}{x}$.
			\end{enumerate}

		\item Aufgabe 3 (6 Punkte)\\
			Geben sie den natürlichen Definitionsbereich $D_f$ der Funktion
				\begin{equation*}
				f(x) = \ln(a-x)
				\end{equation*}
			für $a > 0$ an.
				\begin{enumerate}
					\item $D_f=\{\}$.
					\item $D_f=\{x|x<0\}$.
					\item $D_f=\{x|x<a\}$.
					\item $D_f=\{0\}$.
					\item $D_f=\{x|x>a\}$.
				\end{enumerate}
		\item Aufgabe 4 (5 Punkte)\\
			Seien $x_1,x_2,\dots, x_n \in \mathbb{R}$ fest gegeben. Wie lautet die Minimalstelle $y_{min}$ der Funktion
				\begin{equation*}
				f(y)=\sum_{i=1}^{n}(x_1-y)^2\mathrm{?}
				\end{equation*}
				\begin{enumerate}
					\item $y_{min}=0$.
					\item $y_{min}=x_n-x_1$.
					\item $y_{min}=x_1$.
					\item $y_{min}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.
					\item $y_{min}=\sum_{i=1}^{n}x_i$.	
				\end{enumerate}
			
		\item Aufgabe 5 (5 Punkte)\\	
			Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion
				\begin{equation*}
				f(x)=(1+e^{-2x})^{-3}
				\end{equation*}
			und berechnen Sie die Ableitung an der Stelle $x_0=1$.
				\begin{enumerate}
					\item $f'(x_0)=-0,3887$.
					\item $f'(x_0)=0,3887$.
					\item $f'(x_0)=0,4887$.
					\item $f'(x_0)=0,5887$.
					\item $f'(x_0)=-0,4887$.	
				\end{enumerate}
		
		\item Aufgabe 6 (5 Punkte)\\	
			Wie lautet die Maximalstelle $x_{max}$ der Funktion
				\begin{equation*}
				f(x)=exp\{-\frac{1}{2}(x-\mu)^2\} \mathrm{?}
				\end{equation*}
			Welchen Wert nimmt die Funktion an der Maximalstelle an?
				\begin{enumerate}
					\item $x_{max}=\inf$, $f(x_{max}=0)$.\item $x_{max}=\mu$, $f(x_{max}=0)$.
					\item $x_{max}=0$, $f(x_{max}=1)$.
					\item $x_{max}=\mu$, $f(x_{max}=1)$.
					\item $x_{max}=1$, $f(x_{max}=\mu)$.	
				\end{enumerate}
	
		\item Aufgabe 7 (5 Punkte)\\	
			Sei $D_f\subset \mathbb{R}$ und $f : D_f \rightarrow \mathbb{R}$ zweimal differenzierbar in einer offenen Umgebung von $x_0 \in D_f$. Ferner sei $f(x_0)=0$. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
				\begin{enumerate}
					\item $f''(x)<0 \Rightarrow f$ hat ein striktes lokales Maximum in $x_0$.
					\item $f''(x)>0 \Rightarrow f$ hat ein striktes lokales Minimum in $x_0$.
					\item $f''(x)<0$  für alle $x \in D_f \Rightarrow f$ hat ein striktes globales Maximum in $x_0$.
					\item $f''(x)>0$ für alle $x \in D_f \Rightarrow f$ hat ein striktes globales Minimum in $x_0$.
					\item $x_0$ ist ein striktes lokales Minimum $\Rightarrow x_0$ ist auch ein striktes globales Minimum.
				\end{enumerate}
		\item Aufgabe 8 (5 Punkte)\\	
		Bestimmen sie den Grenzwert
			\begin{equation*}
			\lim_{n \rightarrow \inf}1-\left[1-\frac{y}{c}\right]^n
			\end{equation*}
		für $0<y<c$.
			\begin{enumerate}
				\item $c$.
				\item $0$.
				\item $1$.
				\item $\frac{1}{2}$.
				\item $\frac{c}{2}$.
			\end{enumerate}
		
		\item Aufgabe 9 (6 Punkte)\\	
		Gegeben sei die Funktion
			\begin{equation*}
			f(x,y)=\frac{exp\{x+y\}}{1+exp\{x+y\}}
			\end{equation*}
		Bestimmen sie die partiellen Ableitungen $f'_x(x,y)$ und $f'_y(x,y)$ und berechnen sie diese an der stelle $(x_0, y_0) = (0,0)$.
			\begin{enumerate}
				\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(0,0)$.
				\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(\frac{1}{4},\frac{1}{4})$.
				\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(0,\frac{1}{2})$.
				\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(1,\frac{1}{4})$.
				\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.
			\end{enumerate} 
		
		\item Aufgabe 10 (6 Punkte)\\	
		Welche der folgenden Umformungen ist falsch?
		\begin{enumerate}
			\item $x^4y^2z^3y^{-4}x^3z^5=z^8y^{-2}x^7$.
			\item $e^{-\frac{1}{2}+x^2}=exp\{-\frac{1}{2}\}exp\{x^2\}$.
			\item $\ln(x)-a\ln(x)+c\ln(x)=\ln\left(\frac{x^{c+1}}{y^a}\right)$.
			\item $z^{p+1}\sqrt[p]{z}=z^{\frac{p^2+p+1}{p}}$.
			\item $\frac{x^\frac{3}{4}}{2x^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2}$ mit $x>0$.	
		\end{enumerate}
	
		\item Aufgabe 11 (6 Punkte)\\
		Bestimmen Sie mit der Lagrangemethode die kritische Stelle der Kostenfunktion
			\begin{equation*}
			K : \mathbb{R}^2_+ \rightarrow \mathbb{R}, \quad K(x,y)=x^2-y^2
			\end{equation*}
		unter der Nebenbedingung
			\begin{equation*}
			g: \mathbb{R}^2_+ \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x,y)=x^3+y^3-16=0.
			\end{equation*}
		Die hinreichenden Bedingungen müssen nicht geprüft werden.
		\begin{enumerate}
			\item Kritische Stelle $ (x,y)=(2,2)$.
			\item Kritische Stelle $ (x,y)=(0,0)$.
			\item Kritische Stelle $ (x,y)=(12,4)$.
			\item Kritische Stelle $ (x,y)=(0,4)$.
			\item Kritische Stelle $ (x,y)=(4,0)$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{document}