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content/maths.tex
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@ -1,21 +1,21 @@
\chapter{Mathematische Formeln} \chapter{Mathematical Formulas}
\label{sec:maths} \label{sec:maths}
Mathematische Formeln können nur im sogenannten Mathmode gesetzt werden, der innerhalb einer Zeile (auch als inline bekannt) durch zwei Dollarzeichen aktiviert wird. Mathematical formulas are always set in \emph{math mode}, which, within a paragraph (referred to as \emph{inline}), can be turned on or off with a dollar sign.
Außerdem gibt es eine Blockumgebung (vgl. \cref{lst:sample-math-environment}). There is also a \emph{block} environment (cf. \cref{lst:sample-math-environment}).
Wichtige Pakete für mathematische Zeichen sind \mintinline{latex}{amsmath}, \mintinline{latex}{amsthm} und \mintinline{latex}{amssymb} der American Mathematical Society sowie \mintinline{latex}{mathtools}. Important packages for mathematical features are the \texttt{amsmath}, \texttt{amsthm} and \texttt{amssymb} packages of the American Mathematical Society, as well as \texttt{mathtools}.
Wie bei allen Umgebungen kann durch Angabe eines Asterisks (\textasteriskcentered) die Nummerierung der Gleichungen ausgeschaltet werden. As with many other environments, adding an asterisk turns off the numbering.
\example{lst:sample-math-environment}{maths/sample-math-environment}{Beispielhafte Matheumgebungen} \example{lst:sample-math-environment}{maths/sample-math-environment}{Exempary math environments}
\section{Einige Beispiele} \section{A few examples}
%Die \cref{tbl:maths-common-commands,tbl:maths-logic-sets-braces} listen einige häufig in Formeln verwendeten Befehle auf. %Die \cref{tbl:maths-common-commands,tbl:maths-logic-sets-braces} listen einige häufig in Formeln verwendeten Befehle auf.
\begin{table}[H] \begin{table}[H]
\centering \centering
\begin{tabular}{ll} \begin{tabular}{ll}
\toprule \toprule
Quelltext & Ergebnis \\ \midrule Source code & Result \\ \midrule
\mintinline{latex}{\sqrt{16}} & $\sqrt{16}$ \\ \mintinline{latex}{\sqrt{16}} & $\sqrt{16}$ \\
\mintinline{latex}{\frac{3}{4}} & $\frac{3}{4}$ \\ \mintinline{latex}{\frac{3}{4}} & $\frac{3}{4}$ \\
\mintinline{latex}{e^{\pi}} & $e^{\pi}$ \\ \mintinline{latex}{e^{\pi}} & $e^{\pi}$ \\
@ -24,7 +24,8 @@ Wie bei allen Umgebungen kann durch Angabe eines Asterisks (\textasteriskcentere
\mintinline{latex}{{n \choose k}} & ${n \choose k}$ \\ \mintinline{latex}{{n \choose k}} & ${n \choose k}$ \\
\bottomrule \bottomrule
\end{tabular} \end{tabular}
\caption{Häufig verwendete Befehle (Wurzel, Bruch, Exponent, Summe, Vergleichszeichen, Binomialkoeffizient). Durch \mintinline{latex}{^{…}} und \mintinline{latex}{_{…}} werden die Inhalte in den Klammern hoch- oder tiefgestellt.} \caption{Frequently used commands (square root, fraction, power, sum, inequation, binomial coefficient).
By \mintinline{latex}{^{…}} and \mintinline{latex}{_{…}}, the content get super- or subscript.}
\label{tbl:maths-common-commands} \label{tbl:maths-common-commands}
\end{table} \end{table}
@ -33,7 +34,7 @@ Wie bei allen Umgebungen kann durch Angabe eines Asterisks (\textasteriskcentere
\centering \centering
\begin{tabular}{ll} \begin{tabular}{ll}
\toprule \toprule
Quelltext & Ergebnis \\ \midrule Source code & Result \\ \midrule
\mintinline{latex}{(x), [x], \lbrace x \rbrace, \lvert x \rvert} & $(x), [x], \lbrace x\rbrace, \lvert x\rvert$\\ \mintinline{latex}{(x), [x], \lbrace x \rbrace, \lvert x \rvert} & $(x), [x], \lbrace x\rbrace, \lvert x\rvert$\\
\mintinline{latex}{\exists,\forall,\in,\notin,\infty} & $\exists,\forall,\in,\notin,\infty$ \\ \mintinline{latex}{\exists,\forall,\in,\notin,\infty} & $\exists,\forall,\in,\notin,\infty$ \\
\mintinline{latex}{\alpha, \beta, \Gamma, \Delta, \varepsilon, \pi} & $\alpha, \beta, \Gamma, \Delta, \varepsilon, \pi$ \\ \mintinline{latex}{\alpha, \beta, \Gamma, \Delta, \varepsilon, \pi} & $\alpha, \beta, \Gamma, \Delta, \varepsilon, \pi$ \\
@ -42,38 +43,38 @@ Wie bei allen Umgebungen kann durch Angabe eines Asterisks (\textasteriskcentere
\mintinline{latex}{(A \lor B) \land C} & $(A \lor B) \land C$ \\ \mintinline{latex}{(A \lor B) \land C} & $(A \lor B) \land C$ \\
\mintinline{latex}{(A \cdot B) \times C} & $(A \cdot B) \times C$ \\ \bottomrule \mintinline{latex}{(A \cdot B) \times C} & $(A \cdot B) \times C$ \\ \bottomrule
\end{tabular} \end{tabular}
\caption{Klammerungen, Quantoren, griechische Buchstaben, Pfeile, Operatoren} \caption{Brackets, quantifiers, greek letters, arrows, operators}
\label{tbl:maths-logic-sets-braces} \label{tbl:maths-logic-sets-braces}
} }
\end{table} \end{table}
\section{Mitwachsende Klammern} \section{Growing brackets}
Im Zusammenspiel mit Brüchen kommt es vor, dass Klammern mit ihrem Inhalt wachsen sollen. Especially in combination with fractions, brackts should grow according to their content.
Hierfür muss dem Befehl zum Erzeugen der Klammern (\mintinline{latex}{(}, \mintinline{latex}{)}, \mintinline{latex}{[}, \mintinline{latex}{]}, \mintinline{latex}{\lbrace} und \mintinline{latex}{\rbrace}) jeweils ein Positionsmarker (\mintinline{latex}{\left} oder \mintinline{latex}{\right}) vorangestellt werden. This can be achieved by prepending each bracket (\mintinline{latex}{(}, \mintinline{latex}{)}, \mintinline{latex}{[}, \mintinline{latex}{]}, \mintinline{latex}{\lbrace} and \mintinline{latex}{\rbrace}) with a position marker (\mintinline{latex}{\left} oder \mintinline{latex}{\right}).
\example{lst:growing-brackets}{maths/growing-brackets}{Beispiel für mitwachsende Klammern} \example{lst:growing-brackets}{maths/growing-brackets}{Example for growing brackets}
\section{Darstellung von Grenzen} \section{Lower and upper bounds}
Mit dem Befehl \mintinline{latex}{\limits} lassen sich die Grenzen von Integralen unter und über dem Integralzeichen darstellen. The \mintinline{latex}{\limits} command renders lower and upper bounds of integrals above and below the integral sign.
Bei Summen, Produkten und Grenzwerten geschieht das automatisch (vgl. \cref{lst:limits}). Sums, products and \todo{quite confusing in English}limits do this automatically (c.\,f. \cref{lst:limits}).
Im Fließtext eignet sich \mintinline{latex}{\limits} nur bedingt. For inline formulas, \mintinline{latex}{\limits} are of limited suitability.
\example{lst:limits}{maths/limits}{Grenzen von Summen, Produkten, Grenzwerten und Integralen} \example{lst:limits}{maths/limits}{Lower and upper bounds of sums, products, limits and integrals}
\section{Ausrichtung mehrerer Gleichungen} \section{Aligning equations}
Die Umgebung \mintinline{latex}{align} erlaubt es, Gleichungen zum Beispiel am \texttt{=}-Zeichen auszurichten (vgl. \cref{lst:math-alignment-example}). The \texttt{align} environment allows to align multiple equations horizontally, e.\,g. at the \texttt{=} sign (\cref{lst:math-alignment-example}).
Ausgerichtet wird dabei analog zu Tabellen am \texttt{\&}-Zeichen. As in tables, the \texttt{\&} sign is used to specify anchorage points.
Zeilenumbrüche werden durch zwei Backslashes markiert. Line breaks are denoted by two backslashes.
\Example{lst:math-alignment-example}{maths/align-example}{maths/align-example_crop}{Am Gleichheitszeichen ausgerichtete Gleichungen} \Example{lst:math-alignment-example}{maths/align-example}{maths/align-example_crop}{Equations aligned at equals signs}
\section{Mengenschreibweise} \section{Intensional set notation}\todo{Is that really what this section is about? Looks rather like a “text within maths” section to me.}
Manchmal ist es notwendig, im Zusammenhang mit der Mengenschreibweise Prädikate unter Verwendung von textuellen Beschreibungen oder längeren Funktionsnamen zu definieren. Sometimes sets have to be defined in terms of textual descriptions or longer function names.
Im Mathmode wird die Zeichensetzung von \LaTeX{} nicht auf Fließtext, sondern auf Formeln ausgerichtet, was zu ungünstigen Anordnungen zusammenhängender Buchstabenketten führt. The \LaTeX{} math mode assumes that letters are variables rather than text, which creates problems when they are indeed supposed to be entire words.
Für diesen Fall gibt es den Befehl \mintinline{latex}{\mathrm{}} (\enquote{math roman}, vgl. \cref{lst:set-builder-notation}). For this case, there is the \mintinline{latex}{\mathrm{}} command (\enquote{math roman}, c.\,f. \cref{lst:set-builder-notation}).
\example{lst:set-builder-notation}{maths/set-builder-notation}{Probleme in der Mengenschreibweise und ihre Lösung} \example{lst:set-builder-notation}{maths/set-builder-notation}{Problems arising from intensional set notation and their solution}