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\input{../settings/settings}
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\usepackage{amsmath, amssymb}
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\begin{document}
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\klausur{WiMa-B-01a Wirtschaftsmathematik 1}
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{Prof. Dr. Christian Aßmann}
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{Wintersemester 17/18}
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{60}
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{Taschenrechner, Formelsammlung, 1 handbeschriebenes DIN-A-4-Blatt}
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\begin{enumerate}
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\item Aufgabe 1 (5 Punkte)\\
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Geben sie die Lösungsmenge der Gleichung
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\begin{equation*}
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| x- 3 | = 2
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\end{equation*}
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an.
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\begin{enumerate}
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\item $L={x|x<3} $
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\item $L=\{\} $
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\item $L={1;5} $
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\item $L={x|x>3} $
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\item $L={x|x<1} $
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\end{enumerate}
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\item Aufgabe 2 (6 Punkte)\\
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Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
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\begin{enumerate}
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\item Sei $f(x)=log_a(x)$. Dann gilt $f'(x)=\frac{1}{x\ln a}$ mit $a>0$ und $a\neq1$.
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\item Sei $h(x)=exp\{g(x)\}$. Dann gilt $h'(x)=g'(x)exp\{g(x)\}$.
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\item $\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h-f(x)}{h} = f'(x)$, sofern der Grenzwert existiert.
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\item Sei $ g(x) = f(x) + c $ für $c \in \mathbb{R}$. Dann gilt $g'(x) = f'(x)+c$.
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\item Sei $ f(x)=\ln x $. Dann gilt $f'(x)=\frac{1}{x}$.
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\end{enumerate}
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\item Aufgabe 3 (6 Punkte)\\
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Geben sie den natürlichen Definitionsbereich $D_f$ der Funktion
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\begin{equation*}
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f(x) = \ln(a-x)
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\end{equation*}
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für $a > 0$ an.
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\begin{enumerate}
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\item $D_f=\{\}$.
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\item $D_f=\{x|x<0\}$.
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\item $D_f=\{x|x<a\}$.
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\item $D_f=\{0\}$.
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\item $D_f=\{x|x>a\}$.
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\end{enumerate}
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\item Aufgabe 4 (5 Punkte)\\
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Seien $x_1,x_2,\dots, x_n \in \mathbb{R}$ fest gegeben. Wie lautet die Minimalstelle $y_{min}$ der Funktion
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\begin{equation*}
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f(y)=\sum_{i=1}^{n}(x_1-y)^2\mathrm{?}
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\end{equation*}
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\begin{enumerate}
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\item $y_{min}=0$.
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\item $y_{min}=x_n-x_1$.
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\item $y_{min}=x_1$.
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\item $y_{min}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.
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\item $y_{min}=\sum_{i=1}^{n}x_i$.
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\end{enumerate}
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\item Aufgabe 5 (5 Punkte)\\
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Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion
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\begin{equation*}
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f(x)=(1+e^{-2x})^{-3}
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\end{equation*}
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und berechnen Sie die Ableitung an der Stelle $x_0=1$.
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\begin{enumerate}
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\item $f'(x_0)=-0,3887$.
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\item $f'(x_0)=0,3887$.
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\item $f'(x_0)=0,4887$.
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\item $f'(x_0)=0,5887$.
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\item $f'(x_0)=-0,4887$.
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\end{enumerate}
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\item Aufgabe 6 (5 Punkte)\\
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Wie lautet die Maximalstelle $x_{max}$ der Funktion
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\begin{equation*}
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f(x)=exp\{-\frac{1}{2}(x-\mu)^2\} \mathrm{?}
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\end{equation*}
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Welchen Wert nimmt die Funktion an der Maximalstelle an?
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\begin{enumerate}
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\item $x_{max}=\inf$, $f(x_{max}=0)$.\item $x_{max}=\mu$, $f(x_{max}=0)$.
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\item $x_{max}=0$, $f(x_{max}=1)$.
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\item $x_{max}=\mu$, $f(x_{max}=1)$.
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\item $x_{max}=1$, $f(x_{max}=\mu)$.
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\end{enumerate}
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\item Aufgabe 7 (5 Punkte)\\
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Sei $D_f\subset \mathbb{R}$ und $f : D_f \rightarrow \mathbb{R}$ zweimal differenzierbar in einer offenen Umgebung von $x_0 \in D_f$. Ferner sei $f(x_0)=0$. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
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\begin{enumerate}
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\item $f''(x)<0 \Rightarrow f$ hat ein striktes lokales Maximum in $x_0$.
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\item $f''(x)>0 \Rightarrow f$ hat ein striktes lokales Minimum in $x_0$.
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\item $f''(x)<0$ für alle $x \in D_f \Rightarrow f$ hat ein striktes globales Maximum in $x_0$.
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\item $f''(x)>0$ für alle $x \in D_f \Rightarrow f$ hat ein striktes globales Minimum in $x_0$.
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\item $x_0$ ist ein striktes lokales Minimum $\Rightarrow x_0$ ist auch ein striktes globales Minimum.
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\end{enumerate}
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\item Aufgabe 8 (5 Punkte)\\
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Bestimmen sie den Grenzwert
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\begin{equation*}
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\lim_{n \rightarrow \inf}1-\left[1-\frac{y}{c}\right]^n
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\end{equation*}
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für $0<y<c$.
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\begin{enumerate}
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\item $c$.
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\item $0$.
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\item $1$.
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\item $\frac{1}{2}$.
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\item $\frac{c}{2}$.
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\end{enumerate}
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\item Aufgabe 9 (6 Punkte)\\
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Gegeben sei die Funktion
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\begin{equation*}
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f(x,y)=\frac{exp\{x+y\}}{1+exp\{x+y\}}
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\end{equation*}
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Bestimmen sie die partiellen Ableitungen $f'_x(x,y)$ und $f'_y(x,y)$ und berechnen sie diese an der stelle $(x_0, y_0) = (0,0)$.
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\begin{enumerate}
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\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(0,0)$.
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\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(\frac{1}{4},\frac{1}{4})$.
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\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(0,\frac{1}{2})$.
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\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(1,\frac{1}{4})$.
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\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.
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\end{enumerate}
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\item Aufgabe 10 (6 Punkte)\\
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Welche der folgenden Umformungen ist falsch?
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\begin{enumerate}
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\item $x^4y^2z^3y^{-4}x^3z^5=z^8y^{-2}x^7$.
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\item $e^{-\frac{1}{2}+x^2}=exp\{-\frac{1}{2}\}exp\{x^2\}$.
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\item $\ln(x)-a\ln(x)+c\ln(x)=\ln\left(\frac{x^{c+1}}{y^a}\right)$.
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\item $z^{p+1}\sqrt[p]{z}=z^{\frac{p^2+p+1}{p}}$.
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\item $\frac{x^\frac{3}{4}}{2x^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2}$ mit $x>0$.
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\end{enumerate}
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\item Aufgabe 11 (6 Punkte)\\
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Bestimmen Sie mit der Lagrangemethode die kritische Stelle der Kostenfunktion
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\begin{equation*}
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K : \mathbb{R}^2_+ \rightarrow \mathbb{R}, \quad K(x,y)=x^2-y^2
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\end{equation*}
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unter der Nebenbedingung
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\begin{equation*}
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g: \mathbb{R}^2_+ \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x,y)=x^3+y^3-16=0.
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\end{equation*}
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Die hinreichenden Bedingungen müssen nicht geprüft werden.
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\begin{enumerate}
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\item Kritische Stelle $ (x,y)=(2,2)$.
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\item Kritische Stelle $ (x,y)=(0,0)$.
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\item Kritische Stelle $ (x,y)=(12,4)$.
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\item Kritische Stelle $ (x,y)=(0,4)$.
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\item Kritische Stelle $ (x,y)=(4,0)$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{document}
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