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\input{../settings/settings}
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\begin{document}
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% Hier Klausurenbezeichnung anpassen
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\examtitle
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% Klausurenbezeichnung – bitte im Format <Modulkürzel>: <Modul-Volltext>
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{KTR-MfI-2:\\ Mathematik für Informatik 2}
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% Dozent – bitte vollständige Anrede verwenden
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{Prof. Dr. U. Krieger}
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% Semesterbezeichnung – bitte vollständig ausschreiben: <Wintersemester 18/19>
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% Bitte nicht <WiSe 18/19>
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{Sommersemester 2018}
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% Bearbeitungszeit: <90> Minuten
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{90}
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% Zugelassene Hilfsmittel, ansonsten bitte LEER lassen
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{Taschenrechner, zwei von Hand geschriebene DIN-A4-Seiten}
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%
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% Dokument ab hier :)
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%
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\section{Lineare Gleichungssysteme (8 + 12 Punkte)}
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Geben Sie die Ergebnisse der folgenden Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen an.
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\subsection{}
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Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem:
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\begin{align*}
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4x_1 &= 4 \\
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6x_1 + 6x_2 &= 0 \\
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2x_1 + 2x_2 + 2x_3 &= 2
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\end{align*}
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\begin{enumerate}
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\item Geben Sie eine Darstellung dieses linearen Gleichungssystems in der Form eines Matrix-Vektor-Produkts $A \cdot x = b$ mit Hilfe einer geeigneten Koeffizientenmatrix $A$ und dem Vektor $x$ der Variablen sowie der rechten Seite $b$ des Gleichungssystems an.
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\item Berechnen Sie die Lösung
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$x = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^3$
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durch die Überführung des Systems
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$\left( \begin{array}{lr} A & b \end{array}\right)$
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in Treppennormalform und anschließende Lösung unter Verwendung des \textit{Gaußschen Algorithmus}.
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\end{enumerate}
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\subsection{}
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Betrachten Sie die folgende Blockmatrix-Multiplikation
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$M \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}, n \in \mathbb{N}, n >= 2$
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\begin{equation*}
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M = A \cdot B = \left( \begin{array}{cc}
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C & D \\
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E & F
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\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{cc}
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G & H \\
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J & K
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\end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc}
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M11 & M12 \\
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M21 & M22
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\end{array}\right)
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\end{equation*}
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mit den Blockmatrizen $A \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}$ und $B \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}$ und ihren zugehörigen Matrizen
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$\{ C, D, E, F \} \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$ und
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$\{ G, H, J, K \} \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$.
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Entwickeln und implementieren Sie einen Blockmatrix-Multiplikationsalgorithmus als Octave-Funktion \texttt{bmult}, der als Eingabeparameter die gegebenen Matrizen $\{ C, D, E, F, G, H, J, K\} \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$ sowie die Dimensionsvariable $n \in \mathbb{N}$ und einen Dateinamen \texttt{fileM} verwendet und
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\begin{itemize}
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\item die Produktmatrix $M = A \cdot B \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}$ mit Hilfe der aus den Eingabedaten hergeleiteten einzelnen Matrizen $M11, M12, M21, M22$ berechnet,
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\item sowohl die Produktmatrix $M$ als auch deren Dimension $n$ in eine Datei \texttt{fileM} abspeichert und
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\item danach als Funktionsergebnis $M$ \textbf{und} die Matrizen $M11, M12, M21, M22$ zurückgibt.
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\end{itemize}
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\section{Vektorräume (6 + 6 + 8 Punkte)}
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Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben zur Theorie der Vektorräume an.
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\subsection{}
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\begin{equation*}
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a = \left( \begin{array}{c}
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2 \\ 2 \\ 0 \\ 2
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\end{array}\right),~b = \left( \begin{array}{c}
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1 \\ 0 \\ 0 \\ 0
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\end{array}\right),~c = \left( \begin{array}{c}
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1 \\ 0 \\ 0 \\ 1
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\end{array}\right)
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\end{equation*}
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Betrachten Sie die Vektoren a, b und c des $\mathbb{R}$-Vektorraums $\mathbb{R}^4$.
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Sind diese drei Vektoren $\{a, b, c\} \subset \mathbb{R}^4$ linear unabhängig oder linear abhängig?
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Begründen Sie Ihre Antwort durch geeignete algebraische Argumente.
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\subsection{}
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\begin{equation*}
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A = \left( \begin{array}{ccc}
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1 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0.6
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\end{array}\right),~B = \left( \begin{array}{ccc}
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0 & 0 & 0 \\
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1 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0.4
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\end{array}\right),~C = \left( \begin{array}{ccc}
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-2 & 0 & 0 \\
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-2 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & -2
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\end{array}\right)
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\end{equation*}
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Betrachten Sie die Matrizen $\{ A, B, C \} \subset \mathbb{R}^{3 \times 3}$. Sind diese Matrizen linear unabhängig oder linear abhängig? Begründen Sie Ihre Antworten mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation.
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\subsection{}
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\begin{equation*}
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A = \left( \begin{array}{cc}
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1 & -1 \\
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-1 & 1
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\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}.
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\end{equation*}
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\begin{equation*}
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U = \{ y = \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^2~|~A \cdot y = 2 \cdot y\} \subseteq \mathbb{R}^2
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\end{equation*}
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Wir betrachten die reellwertige Matrix A.
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Beweisen Sie durch geeignete algebraische Argumentation, dass die Teilmenge $U$ ein Untervektorraum des reellen Vektorraums $\mathbb{R}^2$ ist.
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\section{Lineare Abbildungen (6 + 5 + 3 + 6 Punkte)}
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\begin{align*}
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f : V &\longrightarrow W \\
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v = \left( \begin{array}{c}
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a \\ b \\ c \end{array}
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\right) &\mapsto f(v) = \left( \begin{array}{c}
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a - b \\
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-3 (a - b + c) \\
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a - b + c
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\end{array} \right)
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\end{align*}
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Betrachten Sie die lineare Abbildung f zwischen den $\mathbb{R}$-Vektorräumen $V = \mathbb{R}^3$ und $W = \mathbb{R}^3$.
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\begin{enumerate}
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\item Wählen Sie jeweils die kanonische Basis $\mathcal{B} = \{e_1, e_2, e_3\}$ im $\mathbb{R}$-Vektorraum $V = \mathbb{R}^3$ bzw $W = \mathbb{R}^3$ aus und geben Sie die der Abbildung $f$ zugeordnete Matrix $A_f$ bzgl. dieser beiden Basen an.
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\item Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation oder eines geeigneten Berechnungsverfahrens den Rang $rg(f)$ der Abbildung $f$.
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\item Bestimmen Sie durch eine geeignete algebraische Argumentation die Dimension $k = dim(Ker(f))$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$.
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\item Geben Sie eine Basis $\mathcal{C} = \{ v_1, \dots, v_k \}$ des Kerns $Ker(f) = U$ der Abbildung $f$ an und weisen Sie die Basiseigenschaften der Vektoren $\{ v_1, \dots, v_k \}$ für den Untervektorraum $U$ mit Hilfe geeigneter algebraischer Argumente nach.
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\end{enumerate}
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\section{Matrizenalgebra (6 + 6 + 8 Punkte)}
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Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben zur Matrizenalgebra an.
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\subsection{}
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\begin{equation*}
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A = \left( \begin{array}{cccc}
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1 & 0 & 0 & 1 \\
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1 & 1 & 0 & 1 \\
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1 & 0 & 1 & 1
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\end{array} \right) \in \mathbb{F}_2^{3 \times 4}
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\end{equation*}
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\begin{enumerate}
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\item Wie lautet die transponierte Matrix $A^t$ zu $A$?
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\item Bestimmen Sie den Rang $rg(A^t)$ von $A^t$ durch eine geeignete algebraische Argumentation.
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\end{enumerate}
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\subsection{}
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\begin{equation*}
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A = \left( \begin{array}{ccc}
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1 & 1 & -1 \\
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0 & 1 & 1
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\end{array} \right),~B = \left( \begin{array}{cccc}
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1 & 6 & -3 & 1 \\
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1 & -4 & 0 & 1 \\
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1 & 0 & 1 & 0
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\end{array} \right)
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\end{equation*}
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\begin{enumerate}
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\item Berechnen Sie das Element $C_{23}$ der Produktmatrix $C = A \cdot B$.
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\item Geben Sie die Dimensionsvariablen $n, m$ der Produktmatrix $C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ an.
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\end{enumerate}
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\subsection{}
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Berechnen Sie die inverse Matrix $C = A^{-1}$ zu $A$.
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\begin{equation*}
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A = \left( \begin{array}{ccc}
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2 & 2 & -2 \\
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0 & 1 & 2 \\
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0 & 0 & \frac{1}{2}
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\end{array} \right)
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\end{equation*}
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\section{Eigenwerte (4 + 8 + 8 Punkte)}
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Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben an.
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\subsection{}
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Bestimmen Sie die Determinante der folgenden Matrix:
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\begin{equation*}
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A = \left(\begin{array}{cccc}
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4 & 1 & 0 & 1 \\
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0 & 1 & 1 & 0 \\
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0 & 0 & 0.3 & 0.3 \\
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0 & 0 & 1 & 1
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\end{array} \right)
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\end{equation*}
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\subsection{}
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Bestimmen Sie das charakteristische Polynom $p_A(\lambda)$ der folgenden Matrix $A$ und berechnen Sie mit dessen Hilfe dann alle Eigenwerte $\sigma(A) = \{\lambda_i\ |\ i \in \{1, 2, 3\}\}$ der Matrix A:
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\begin{equation*}
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A = \left(\begin{array}{ccc}
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0 & 2 & 0 \\
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2 & 0 & 0.5 \\
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0 & 0 & 0.5
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\end{array} \right)
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\end{equation*}
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\subsection{}
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Bestimmen Sie einen Eigenwert $\lambda \in \sigma(B) \subset \mathbb{R}$ und einen zugehörigen Eigenvektor $v \in \mathbb{R}^2$ der folgenden Matrix $B$:
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\begin{equation}
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B = \left(\begin{array}{cc}
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-2 & 2 \\
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2 & -2
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\end{array} \right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}
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\end{equation}
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\end{document}
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