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09ea49a3e6
@ -11,7 +11,7 @@
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\begin{document}
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\klausur{KTR-MfI2-B Mathematik für Informatik 2)}
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\klausur{KTR-MfI2-B Mathematik für Informatik 2}
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{Prof. Dr. U. Krieger}
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{Sommersemester 17}
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{90}
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@ -212,9 +212,9 @@
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
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$\otimes$ & $g_1 = (1, 1)$ & $g_2 = (1, -1)$ \\ \hline
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$\otimes$ & $g_2 = (1, 1)$ & $g_2 = (1, -1)$ \\ \hline
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$g_1 = (1, 1)$ & & \\ \hline
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$g_2 = (1, -1)$ & & \\ \hline
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$g_1 = (1, -1)$ & & \\ \hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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@ -266,7 +266,7 @@
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\end{array} \right)
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\end{equation}
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sei die der linearen Abbildung $f : V \rightarrow W$ zugeordnete Matrix. Geben Sie die Dimensionen $k, m \in \mathbb{N}_0$ der zugrunde liegenden Vektorräume $V$ und $W$ an.
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sei die der linearen Abbildung $f : V \rightarrow W$ zugeordnete Matrix. Geben Sie die Dimensionen $k, m \in \mathbb{N}_0$ der zugrunde liegenden Vektorräume $V^k$ und $W^m$ an.
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% Aufgabe 5.2
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\item Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:
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@ -275,7 +275,7 @@
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1 & 0 & 2 \\
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0 & 6 & 0 \\
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2 & 0 & 2
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\end{array} \right),
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\end{array} \right),~
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B = \left( \begin{array}{ccc}
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6 & 0 & 0 \\
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5 & 4 & 0 \\
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@ -5,185 +5,193 @@
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\begin{document}
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\klausur{KTR-MfI 2}
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||||
{Prof. Dr. U. Krieger)}
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\klausur{KTR-MfI2-B Mathematik für Informatik 2}
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{Prof. Dr. U. Krieger}
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{Wintersemester 17/18}
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{90}
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{Taschenrechner, 1 Din A4 Seite doppelseitig handbeschrieben}
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{Taschenrechner, zwei von Hand geschriebene Din-A4-Seiten}
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\begin{enumerate}
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\item Aufgabe 1 (8+12 Punkte) Lineare Gleichungssysteme und Matlab/Octave
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Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen in den daf\"ur vorgegebenen Feldern an.
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\begin{enumerate}
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\item [a)] Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem:
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$$\begin{array}{lllllll}
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||||
2x_1 & + & 4x_2 & & & = 0 \\
|
||||
& & 2x_2 & + & 2x_3 & = 2 \\
|
||||
2x_1 & + & 4x_2 & + & 4x_3 & = 1
|
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\end{array}$$
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item[1)] Geben Sie eine Darstellung dieses linearen Gleicungssystems in der Form eines Matrix-Vektor-Produkts $$A\cdot x = b$$ mit Hilfe einer geeigneten Koeffizientenmatrix $A$ und dem Vektor $x$ der Variablen sowie der rechten Seite $b$ des Gleicungssystems an.
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||||
\item[2)] Berechnen Sie die L\"osung $x = \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right) \in \mathbb{R}^3$ durch die \"Uberf\"uhrung des Systems (A~~~b) in Treppennormalform und anschlie{\ss}ende L\"osung unter Verwendung des Gau{\ss}schen Algorithmus.
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\end{enumerate}
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\section*{Aufgabe 1: Lineare Gleichungssysteme und Matlab/Octave (8 + 12)}
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\item [b)] Berechnen Sie da lineare Gleichungssystem
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$$L\cdot x = \left( \begin{array}{cccc}
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L_{11} & 0 & \dots & 0 \\
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||||
L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\
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||||
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
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||||
L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn}
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||||
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
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||||
x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n
|
||||
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
|
||||
b_1 \\b_2\\\vdots\\b_n
|
||||
\end{array}\right)=b$$
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||||
mit der unteren Dreiecksmatrix
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$$L = \left( \begin{array}{cccc}
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||||
L_{11} & 0 & \dots & 0 \\
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||||
L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\
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||||
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
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||||
L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn}
|
||||
\end{array}\right)\in \mathbb{R}^{n\times n}, n\in\mathbb{N}, n\geq 2$$
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||||
und nehmen Sie an, dass alle Elemente $L_{ii}\neq 0,i=1,\dots,n$, sind.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item [a)] Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem:
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||||
$$\begin{array}{lllllll}
|
||||
2x_1 & + & 4x_2 & & & = 0 \\
|
||||
& & 2x_2 & + & 2x_3 & = 2 \\
|
||||
2x_1 & + & 4x_2 & + & 4x_3 & = 1
|
||||
\end{array}$$
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[1)] Geben Sie eine Darstellung dieses linearen Gleichungssystems in der Form eines Matrix-Vektor-Produkts $$A\cdot x = b$$ mit Hilfe einer geeigneten Koeffizientenmatrix $A$ und dem Vektor $x$ der Variablen sowie der rechten Seite $b$ des Gleichungssystems an.
|
||||
\item[2)] Berechnen Sie die L\"osung $x \in \mathbb{R}^3$ durch die \"Uberf\"uhrung des Systems (A~~~b) in Treppennormalform und anschlie{\ss}ende L\"osung unter Verwendung des Gau{\ss}schen Algorithmus.
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||||
\end{enumerate}
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||||
Der Vektor $x=\left(\begin{array}{c}
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||||
x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n
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\end{array}\right)$ kann mit Hilfe des folgenden \textit{Forward-Substitution} Algorithmus
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\begin{equation}
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||||
x_i=\left(b_i-\sum^{i-1}_{j=1}~~L_{ij}\cdot x_j\right)/ L_{ii}, i=1,\dots,n
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||||
\end{equation}
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bestimmt werden, der sukzessive die Elemente $x_i,i=1,\dots,n,$ berechnet.
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\newpage
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item[1)] Implementieren Sie den \textit{Forward-Substitution} Algorithmus als MATLAB oder Octave Funktion $ForSub(b, L, y)$, die f\"ur eine gegebene rechte Seite $b\in\mathbb{R}^n$ und eine invertierbare untere Dreiecksmatrix $L\in\mathbb{R}^{n\times n}$ der Dimension $ n \in \mathbb{N}, n\geq 2$, mit Diagonalelementen $L_{ii}\neq 0, i=1,\dots,n$, als Eingabeparametern des L\"osungsvektor $x\in\mathbb{R}^n$ in (1) berechnet und diesen w\"ahrend des L\"osungsverfahrens sukzessive in den Speicherplatz des Ausgabevektors $y\in\mathbb{R}^n$ schreibt, nachdem $y$ zu Beginn des Algorithmus mit dem Nullvektor initialisieert wurde.
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||||
\item[2)] Schreiben Sie ein MATLAB oder Octave Programm, das diese erstellte MATLAB oder Octave Funktion $ForSub$ zur L\"osung des Gleichungssystems $L \cdot x = b$ mit folgenden Eingangsdaten
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$$L=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
2 & 0 & 0 \\
|
||||
1 & 5 & 0 \\
|
||||
7 & 9 & 8
|
||||
\end{array}\right), b = \left(\begin{array}{c}
|
||||
6 \\2\\5
|
||||
\end{array}\right)$$
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anwendet und dann den L\"osungsvektor $x$ komponentenweise ausgibt.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\item Aufgabe 2 (6+6+8 Punkte) Vektorr\"aume
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Geben Sie die Ergebnisse folgender Aufgaben zur Theorie der Vektorr\"aume in den daf\"ur vorgesehenen Feldern an.
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\begin{enumerate}
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\item [a)] Betrachten Sie die Vektoren
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$$a=\left(\begin{array}{c}
|
||||
0 \\1\\1
|
||||
\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}
|
||||
1 \\1\\1
|
||||
\end{array}\right),c=\left(\begin{array}{c}
|
||||
1 \\0\\1
|
||||
\end{array}\right)$$
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||||
des $\mathbb{F}_2$-Vektorraums $\mathbb{F}^3_2$ auf dem K\"orper deer bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2={0,1}$ mit den Operationen $\{\oplus, \odot\}$ der Addition und Multiplikation modulo 2, d. h. f\"ur $x, y\in\mathbb{F}_2,x\oplus y = (x+y)~mod~2,\\ x \odot y = (x\cdot y)~mod~2$.\\
|
||||
Sind diese drei Vektoren $\{a,b,c\}\subset\mathbb{F}^3_2$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort durch geeignete algebraische Argumente.
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||||
\item [b)] Betrachten Sie die Matrizen
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$$A=\left(\begin{array}{cc}
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||||
0 & 1 \\
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||||
0 & 1 \\
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||||
\end{array}\right), B= \left(\begin{array}{cc}
|
||||
0 & 0 \\
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||||
1 & 0
|
||||
\end{array}\right), C = \left(\begin{array}{cc}
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||||
0 & 1 \\
|
||||
1 & 0
|
||||
\end{array}\right)$$
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||||
des Vektorraums $\mathbb{R}^{2\times 2}$.\\
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||||
Sind diese drei Matrizen $\{A,B,C\}\subset\mathbb{R}^{2\times 2}$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation.
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||||
\item[c)] Weisen Sie durch eine geeignete algebraische Argumentation nach, dass die Menge
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$$U=\{v=\left(\begin{array}{c}
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||||
x_1 \\x_2\\x_3
|
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\end{array}\right)\in \mathbb{R}^{3} | 4x_1+3x_2=0\} \subset \mathbb{R}^3$$
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ein Untervektorraum des reellen Vektorraums $V = \mathbb{R}^3$ ist.
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\end{enumerate}\newpage
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\item Aufgabe 3 (6+6+4+4 Punkte) Lineare Abbildungen
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\item [b)] Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem
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$$L\cdot x = \left( \begin{array}{cccc}
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||||
L_{11} & 0 & \dots & 0 \\
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||||
L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\
|
||||
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
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||||
L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn}
|
||||
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
|
||||
x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n
|
||||
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
|
||||
b_1 \\b_2\\\vdots\\b_n
|
||||
\end{array}\right)=b$$
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||||
mit der unteren Dreiecksmatrix
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||||
$$L = \left( \begin{array}{cccc}
|
||||
L_{11} & 0 & \dots & 0 \\
|
||||
L_{21} & L_{22} & \cdots & \vdots \\
|
||||
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
|
||||
L_{n1} & \cdots & \cdots & L_{nn}
|
||||
\end{array}\right)\in \mathbb{R}^{n\times n}, n\in\mathbb{N}, n\geq 2$$
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||||
und nehmen Sie an, dass gilt: $\forall i \in \{1,2,\dots,n\} : L_{ii}\neq 0$.
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Betrachten Sie die lineare Abbildung
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$$ f: V \longrightarrow W $$
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$$ v=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)\rightarrow f(v)=\left(\begin{array}{c} y\oplus z \\ x\oplus z \\ x\oplus y \end{array}\right) $$
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||||
zwischen den $\mathbb{F}_2$-Vektorr\"aumen $V=\mathbb{F}^3_2$ und $W=\mathbb{F}^3_2$ \"uber dem K\"orper der bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2 = {0,1}$ mit den Operationen $\{\oplus,\odot\}$ der Addition und Multiplikation modulo 2, d.h. $x\oplus y = (x+y) mod 2, x\odot y = (x\cdot y) mod 2$ f\"ur $x,y\in\mathbb{F}_2$.
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item [a)] W\"ahlen Sie jeweils die kanonische Basis $\mathcal{B} = \{e_1,e_2,e_3\}$ im $\mathbb{F}_2$-Vektorraum $V = \mathbb{F}^3_2$ bzw. $W=\mathbb{F}^3_2$ aus und geben Sie die der Abbildung $f$ zugeordnete Matrix $A_f$ bzgl. dieser beiden Basen an.
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||||
\item [b)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation oder eines geeigneten Berechnungsverfahrens den Rang $rg(f)$ der Abbildung $f$.
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\item [c)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Formel, die Sie explizit angeben sollen, die Dimension $k=dim(Ker(f))$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$.
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||||
\item [d)] Geben Sie eine Basis $\mathcal{C} = \{v_1,\dots,v_k\}$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$ an.
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\end{itemize}
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Der Vektor $x=\left(\begin{array}{c}
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x_1 \\x_2\\\vdots\\x_n
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\end{array}\right)$ kann mit Hilfe des folgenden \textit{Forward-Substitution}-Algorithmus
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\item Aufgabe 4 (10+4+6 Punkte) Gruppen- und Matrizenalgebra
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\begin{enumerate}
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\item [a)] Beantworten Sie folgende Fragen zur Algebra einfacher Gruppen $(G,\oplus,e)$
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\begin{enumerate}
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||||
\item [1)] Betrachten Sie die Gruppe $(G,\oplus,e)=(\mathbb{F}^3_2,\oplus,e)$ aller bin\"arer Tupel
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$$(a,b)\in\mathbb{F}^3_2 = \{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$$
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||||
mit den Komponenten $a,b\in\mathbb{F}_2= \{ 0,1\}$ und der komponentenweise definierten Addition modulo 2 als Gruppenverkn\"upfung $\oplus$.
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\begin{equation}
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x_i=\left(b_i-\sum^{i-1}_{j=1}~~L_{ij}\cdot x_j\right)/ L_{ii}~\mathrm{mit}~i \in \{1, 2, \dots, n\}
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||||
\end{equation}
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Geben Sie das neutrale Element $e\in G$ an und berechnen Sie f\"ur $f=(1,0), g=(0,1),h=(1,1)$ die folgenden Gruppenelemente $k,l\in G$
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bestimmt werden, der sukzessive die Elemente $x_i$ mit $i \in \{1, 2, \dots, n \}$ berechnet.
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||||
\newpage
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[1)] Implementieren Sie den \textit{Forward-Substitution}-Algorithmus als MATLAB- oder Octave-Funktion \texttt{ForSub(b, L, y)}, die f\"ur eine gegebene rechte Seite $b\in\mathbb{R}^n$ und eine invertierbare untere Dreiecksmatrix $L\in\mathbb{R}^{n\times n}$ der Dimension $ n \in \mathbb{N}, n\geq 2$, mit Diagonalelementen $L_{ii}\neq 0$ ($i \in \{ 1, 2, \dots, n \}$) als Eingabeparametern den L\"osungsvektor $x\in\mathbb{R}^n$ in (1) berechnet und diesen w\"ahrend des L\"osungsverfahrens sukzessive in den Speicherplatz des Ausgabevektors $y\in\mathbb{R}^n$ schreibt, nachdem $y$ zu Beginn des Algorithmus mit dem Nullvektor initialisiert wurde.
|
||||
\item[2)] Schreiben Sie ein MATLAB- oder Octave-Programm, das diese erstellte MATLAB- oder Octave-Funktion \texttt{ForSub} zur L\"osung des Gleichungssystems $L \cdot x = b$ mit folgenden Eingangsdaten anwendet und dann den L\"osungsvektor $x$ komponentenweise ausgibt:
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||||
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||||
$$k = g \oplus f = $$
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||||
$$l = g \oplus h = $$
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||||
$$e = $$
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||||
$$L=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
2 & 0 & 0 \\
|
||||
1 & 5 & 0 \\
|
||||
7 & 9 & 8
|
||||
\end{array}\right),~b = \left(\begin{array}{c}
|
||||
6 \\2\\5
|
||||
\end{array}\right)$$
|
||||
|
||||
\item[2)] Definiert die Teilmenge
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$$U=\{(0,0),(1,0),(0,1)\}\subset \mathbb{F}^2_2=G$$
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||||
der Untergruppe von $(\mathbb{F}^2_2,\oplus,e)$? Geben Sie eine algebraische Begr\"undung an.
|
||||
\item[3)] Die aus drei verschiedenen Elementen besthende Menge $G={e,a,h}$ mit der additiven Verkn\"upfung $z=x\oplus y \in G $ auf zwei Gruppenelementen $x,y \in G$ kann durch eine entsprechende Verkn\"upfungstabelle T beschrieben werden (siehe unten), z.B. ergibt sich aus der Additon der Elemente $x = b$ in der 5. Zeile und $y=a$ in der 4. Spalte das Element
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||||
$$z=x\oplus y = b \oplus a = e$$
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||||
Erg\"anzen Sie die fehlenden Elemente der 5. Zeile hinter $x=b$ und der 5. Spalte unterhalb von $y=b$ in der Verkn\"upfungstabelle $T$ sowie das fehlende Element der 5. Zeile und 3. Spalte f\"ur $x=b$ und $y=e$ derart, dass $T$ eine kommutative Gruppe $(G,\oplus,e)$ definiert.
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||||
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||||
\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|}\hline
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||||
$\oplus$ & \multicolumn{4}{|c|}{}\\\hline
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||||
&y= & e & a & b \\\hline\hline
|
||||
\multirow{3}{*}{b=} & e & e & a & \\\hline
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||||
& a & a & b & e \\\hline
|
||||
& b & & e & \\\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item[b)] Es sei $A=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
2 & 1 & 4\\
|
||||
1 & -1 & -5
|
||||
\end{array}\right), B = \left(\begin{array}{ccc}
|
||||
4 & 1 & 0\\
|
||||
5 & 2 & 1\\
|
||||
10& 7 & 6
|
||||
\end{array}\right)$
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[1)] Berechnen Sie das Element $C_{23}$ der Produktmatrix $C=A\cdot B$
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||||
\item[2)] Wie lautet die transponierte Matrix $A^t$ zu $A$?
|
||||
\item[3)] Es sei
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||||
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
1 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 1 & -1\\
|
||||
2 & -4 & 3
|
||||
\end{array}\right)$$
|
||||
Berechnen Sie die inverse Matrix $C=A^{-1}$ zu $A$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Aufgabe 5(4+6+10 Punkte) Lineare Abbildungs- und Eigenwerttheorie
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||||
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||||
Geben Sie die Ergebnisser folgender Aufgaben in den daf\"ur vorgesehenen Feldern an.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item [a)] Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix
|
||||
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
0.3 & 0 & 0\\
|
||||
0.7 & 0 & 1\\
|
||||
0 & 2 & 0
|
||||
\end{array}\right)$$
|
||||
$det(A)=$
|
||||
\item[b)] Berechnen Sie einen Eigenvektor $v\in\mathbb{R}^2$ zum Eigenwert $\lambda = 2$ der folgenden Matrix $B$:
|
||||
$$B=\left(\begin{array}{cc}
|
||||
1 & -1\\
|
||||
-1 & 1
|
||||
\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times 2}$$
|
||||
\item[c)] Bestimmen Sie das charakteristische Polinom $p(\lambda) = \lambda^3+p_2\lambda^2+p_1\lambda+p_0$ der folgenden Matrix $A$ und berechnen Sie mit dessen Hilfe alle Eigenwerte $\lambda_i\in\mathbb{R}, i\in\{1,2,3\}$, der Matrix $A$:
|
||||
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
0.9 & 0 & 0\\
|
||||
0 & -1 & 1\\
|
||||
0.1 & -2 & 2
|
||||
\end{array}\right)$$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\section*{Aufgabe 2: Vektorr\"aume (6 + 6 + 8)}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item [a)] Betrachten Sie die Vektoren
|
||||
$$a=\left(\begin{array}{c}
|
||||
0 \\1\\1
|
||||
\end{array}\right),~b=\left(\begin{array}{c}
|
||||
1 \\1\\1
|
||||
\end{array}\right),~c=\left(\begin{array}{c}
|
||||
1 \\0\\1
|
||||
\end{array}\right)$$
|
||||
des $\mathbb{F}_2$-Vektorraums $\mathbb{F}^3_2$ auf dem K\"orper der bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ mit den Operationen $\{\oplus, \odot\}$ -- der Addition und Multiplikation modulo 2, d. h. f\"ur $x, y\in\mathbb{F}_2,x\oplus y = (x+y)~mod~2,\\ x \odot y = (x\cdot y)~mod~2$.\\
|
||||
Sind die Vektoren $\{a,b,c\}\subset\mathbb{F}^3_2$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort durch geeignete algebraische Argumente.
|
||||
\item [b)] Betrachten Sie die Matrizen
|
||||
$$A=\left(\begin{array}{cc}
|
||||
0 & 1 \\
|
||||
0 & 1 \\
|
||||
\end{array}\right),~B= \left(\begin{array}{cc}
|
||||
0 & 0 \\
|
||||
1 & 0
|
||||
\end{array}\right),~C = \left(\begin{array}{cc}
|
||||
0 & 1 \\
|
||||
1 & 0
|
||||
\end{array}\right)$$
|
||||
des Vektorraums $\mathbb{R}^{2\times 2}$.\\
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Sind die Matrizen $\{A,B,C\}\subset\mathbb{R}^{2\times 2}$ linear unabh\"angig oder linear abh\"angig? Begr\"unden Sie Ihre Antwort mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation.
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\item[c)] Weisen Sie durch eine geeignete algebraische Argumentation nach, dass die Menge
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$$U = \{v=\left(\begin{array}{c}
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x_1 \\x_2\\x_3
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\end{array}\right)\in \mathbb{R}^{3}~|~4x_1+3x_2=0\} \subset \mathbb{R}^3$$
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ein Untervektorraum des reellen Vektorraums $V = \mathbb{R}^3$ ist.
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\end{enumerate}\newpage
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\section*{Aufgabe 3: Lineare Abbildungen (6 + 6 + 4 + 4)}
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Betrachten Sie die lineare Abbildung
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$$ f: V \longrightarrow W $$
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$$ v = \left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right) \rightarrow f(v) = \left(\begin{array}{c} y\oplus z \\ x\oplus z \\ x\oplus y \end{array}\right) $$
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zwischen den $\mathbb{F}_2$-Vektorr\"aumen $V=\mathbb{F}^3_2$ und $W=\mathbb{F}^3_2$ \"uber dem K\"orper der bin\"aren Elemente $\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$ mit den Operationen $\{\oplus,\odot\}$ -- der Addition und Multiplikation modulo 2, d.h. $x\oplus y = (x+y)~mod~2$ und $ x\odot y = (x\cdot y)~mod~2$ f\"ur $x,y\in\mathbb{F}_2$.
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\begin{itemize}
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\item [a)] W\"ahlen Sie jeweils die kanonische Basis $\mathcal{B} = \{e_1,e_2,e_3\}$ im $\mathbb{F}_2$-Vektorraum $V = \mathbb{F}^3_2$ bzw. $W=\mathbb{F}^3_2$ aus und geben Sie die der Abbildung $f$ zugeordnete Matrix $A_f$ bzgl. dieser beiden Basen an.
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\item [b)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten algebraischen Argumentation oder eines geeigneten Berechnungsverfahrens den Rang $rg(f)$ der Abbildung $f$.
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\item [c)] Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Formel, die Sie explizit angeben sollen, die Dimension $k=dim(Ker(f))$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$.
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\item [d)] Geben Sie eine Basis $\mathcal{C} = \{v_1,\dots,v_k\}$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung $f$ an.
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\end{itemize}
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\section*{Aufgabe 4: Gruppen- und Matrizenalgebra (10 + 4 + 6)}
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\begin{enumerate}
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\item [a)] Beantworten Sie folgende Fragen zur Algebra einfacher Gruppen $(G,\oplus,e)$.
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\begin{enumerate}
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\item [1)] Betrachten Sie die Gruppe $(G,\oplus,e)=(\mathbb{F}^3_2,\oplus,e)$ aller bin\"arer Tupel
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$$(a,b)\in\mathbb{F}^3_2 = \{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$$
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mit den Komponenten $a,b\in\mathbb{F}_2= \{ 0,1\}$ und der komponentenweise definierten Addition modulo 2 als Gruppenverkn\"upfung $\oplus$.
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Geben Sie das neutrale Element $e\in G$ an und berechnen Sie f\"ur $f=(1,0)$, $g=(0,1)$, $h=(1,1)$ die folgenden Gruppenelemente $k,l\in G$
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$$k = g \oplus f = $$
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$$l = g \oplus h = $$
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$$e = $$
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\item[2)] Definiert die Teilmenge
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$$U=\{(0,0),(1,0),(0,1)\}\subset \mathbb{F}^2_2=G$$
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eine Untergruppe von $(\mathbb{F}^2_2,\oplus,e)$? Geben Sie eine algebraische Begr\"undung an.
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\item[3)] Die aus drei verschiedenen Elementen bestehende Menge $G=\{e,a,h\}$ mit der additiven Verkn\"upfung $z=x\oplus y \in G $ auf zwei Gruppenelementen $x,y \in G$ kann durch eine entsprechende Verkn\"upfungstabelle T beschrieben werden (siehe unten), z. B. ergibt sich aus der Additon der Elemente $x = h$ in der vierten Zeile und $y = a$ in der dritten Spalte das Element
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$$z=x\oplus y = h \oplus a = e$$
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Erg\"anzen Sie die fehlenden Elemente in der Verkn\"upfungstabelle $T$ derart, dass $T$ eine kommutative Gruppe $(G,\oplus,e)$ definiert.
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\begin{table}[H]
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\centering
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\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}\hline
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$\oplus$ & e & a & h \\\hline\hline
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e & e & a & ? \\\hline
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a & a & h & e \\\hline
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h & ? & e & ? \\\hline
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\end{tabular}
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\end{table}
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\end{enumerate}
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\item[b)] Es seien $A=\left(\begin{array}{ccc}
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2 & 1 & 4\\
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1 & -1 & -5
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\end{array}\right),~B = \left(\begin{array}{ccc}
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4 & 1 & 0\\
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5 & 2 & 1\\
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10& 7 & 6
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\end{array}\right)$
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\begin{enumerate}
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\item[1)] Berechnen Sie das Element $C_{23}$ der Produktmatrix $C=A\cdot B$.
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\item[2)] Wie lautet die transponierte Matrix $A^t$ zu $A$?
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\item[3)] Es sei:
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$$A=\left(\begin{array}{ccc}
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1 & 0 & 0\\
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0 & 1 & -1\\
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2 & -4 & 3
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\end{array}\right)$$
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Berechnen Sie die inverse Matrix $C=A^{-1}$ zu $A$
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\section*{Aufgabe 5: Lineare Abbildungs- und Eigenwerttheorie(4 + 6 + 10)}
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\begin{enumerate}
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\item [a)] Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix $A$:
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$$A=\left(\begin{array}{ccc}
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0.3 & 0 & 0\\
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0.7 & 0 & 1\\
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0 & 2 & 0
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\end{array}\right)$$
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\item[b)] Berechnen Sie einen Eigenvektor $v\in\mathbb{R}^2$ zum Eigenwert $\lambda = 2$ der folgenden Matrix $B$:
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$$B=\left(\begin{array}{cc}
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1 & -1\\
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-1 & 1
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\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{2\times 2}$$
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\item[c)] Bestimmen Sie das charakteristische Polynom $p_C(\lambda) = \lambda^3+p_2\lambda^2+p_1\lambda+p_0$ der folgenden Matrix $C$ und berechnen Sie mit dessen Hilfe alle Eigenwerte $\lambda_i\in\mathbb{R}, i\in\{1,2,3\}$, der Matrix $C$:
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$$C = \left(\begin{array}{ccc}
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0.9 & 0 & 0\\
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0 & -1 & 1\\
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0.1 & -2 & 2
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\end{array}\right)$$
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\end{enumerate}
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\end{document}
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