added mif2 and gitignore

.gitignore

@@ -0,0 +1,37 @@
+*.acn
+*.acr
+*.alg
+*.aux
+*.bbl
+*.bcf
+*.blg
+*-blx.aux
+*-blx.bib
+*.dvi
+*.fdb_latexmk
+*.fls
+*.glg
+*.glo
+*.gls
+*.idx
+*.ilg
+*.ind
+*.ist
+*.lof
+*.log
+*.lot
+*.maf
+*.mtc
+*.mtc0
+*.nav
+*.nlo
+*.out
+*.pdfsync
+*.ps
+*.snm
+*.synctex.gz
+*.toc
+*.vrb
+*.xdy
+*.tdo
+*.pdf

mathefuerinf2/mfi2-13.tex

@@ -0,0 +1,228 @@
+\input{../settings/settings}
+
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsfonts}
+\begin{document}
+\klausur{Mathe für Informatiker 2}{Prof. Dr. U. Krieger}{Sommersemester 13}{90}{Taschenrechner, Handbeschriebenes DinA4 Blatt}
+\section{Aufgabe, Punkte (14 + 6)}
+Lineare Gleichungsysteme und Matlab.
+
+\begin{enumerate}
+
+\item Betrachten Sie das LGS U * x = b;\\\\
+$
+\begin{pmatrix}
+	u_{11} & u_{12} & \ddots & u_{1n} \\ 
+	0 & u_{12} & \ddots & \vdots \\ 
+	0 & 0 & \ddots & u_{nn}
+\end{pmatrix}
+*
+\begin{pmatrix}
+x_{1}\\
+x_{2}\\
+\vdots\\
+x_{n}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+b_{1}\\
+b_{2}\\
+\vdots\\
+b_{n}
+\end{pmatrix}
+$
+\\\\
+Mit der oberen Dreiecksmatrix U. Wobei:\\\\
+$
+U \in \mathbb{R} ^{n \times n}, n \in \mathbb{N}, n \leq 2,u_{ii} \neq 0, i=1 ... n
+$
+
+\begin{enumerate}
+\item Geben Sie einen einfachen Algorithmus zur Berechnung des Lösungsvektors  $x \in \mathbb{R}^{n}.$ an.
+
+\item Geben Sie auf Basis ihrers Algorithmus ein Matlab oder Oktav Programm für die Berechnung des Lösungsvektors x an.
+
+\end{enumerate}
+
+\item Betrachten Sie folgendes LGS\\\\
+$
+\begin{array}{lcl}
+2x_{1} + x_{2} + x_{3} & = & 1\\
+2x_{2} + x_{3} &=& 0\\
+x_{3} &=& 1
+\end{array}
+$
+\begin{enumerate}
+\item Geben Sie das LGS in Matrix-Vektor Darstellung an. $ A*x=b$
+\item Ist das System eindeutig lösbar? Begründen Sie.
+\end{enumerate}
+
+\end{enumerate} %ende Aufgabe 1
+
+\section{Aufgabe, Punkte (3 + 10 + 7)}
+Vektorräume
+
+\begin{enumerate}
+\item Gegeben sind die Vektoren\\
+$
+ a = \begin{pmatrix}
+ 2\\0\\0
+ \end{pmatrix}
+ b = \begin{pmatrix}
+ -1\\0\\2
+ \end{pmatrix}
+ c = \begin{pmatrix}
+  1\\0\\2
+ \end{pmatrix}
+$
+des Vektorraums $ \mathbb{R}^{3}$
+
+\begin{enumerate}
+\item Sind die drei Vektoren $ \{a, b, c\} \in \mathbb{R}^{3}$ linear-unabhängig oder linear-abhängig? Begründen Sie durch Rechnung.
+\end{enumerate}
+
+\item Gegeben sind die Matrizen:\\
+
+$A=\begin{pmatrix}
+1/2 & 0 & 0\\
+0 & 1 & 0 \\
+0 & 0 & 0 
+\end{pmatrix}
+B=\begin{pmatrix}
+1/2 & 0 & 0\\
+0 & 0 & 1\\
+0 & 0 & 0 
+\end{pmatrix}
+C=\begin{pmatrix}
+1 & 0 & 0 \\
+0 & 1 & 1 \\
+0 & 0 & 0 
+\end{pmatrix}
+$\\\\
+des Vektorraums $\mathbb{R}^{3 \times 3}$
+
+\begin{enumerate}
+\item Sind die Matrizen \{A,B,C\} $\in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ linarunabhängig oder linarabhängig?
+\item Bestimmen Sie die max. Anzahl der linear unabhängigen Elemente der Menge \{A,B,C\}. Begründen Sie durch algebr. Argumente.
+\end{enumerate}
+
+\item Gegeben sei folgende reelwertige 2x2 Matrix\\
+
+$\begin{pmatrix}
+1 & -1 \\
+-1 & 1
+\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2x2}$\\\\
+mit Elementen $Aij \in \{1,-1\} \subset \mathbb{R}, 1 \leq i \leq 2; 1 \leq j \leq 2 $
+
+\begin{enumerate}
+\item Beweisen Sie durch eine geeignete algeb. Argumentation, dass die Teilmenge $ U:= \{y\in\mathbb{R}^{2}:0=2*y-A-y\} \subseteq \mathbb{R}^{2}$ in Abhängigkeit von Vektor y des reelen Vektorraums $V=\mathbb{R}^{2}$ ein UnterVektorRaum von V ist.
+
+\item Welchem Typ gehört die Matrix A an?
+\end{enumerate}
+
+\end{enumerate} %ende aufgabe2
+
+\section{Aufgabe, Punkte (9+6+3+2)}
+
+Betrachten Sie die lin. Abbildung.\\
+
+$ f : V \to W$\\\\
+
+$v = \begin{pmatrix}
+x\\y\\z
+\end{pmatrix}
+\to
+f(v)= 
+\begin{pmatrix}
+2(x+y+z)\\
+z+y+x\\
+z
+\end{pmatrix}$\\\\
+
+Mit $ V = \mathbb{R}^{3}, W=\mathbb{R}^{3}$
+
+\begin{enumerate}
+
+\item Wählen Sie je die kanonische Basis $B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ im $\mathbb{R}$ Vektorraum $V=\mathbb{R}^{3}$ aus. Geben Sie die der Abb. f zugeordnete Matrix $A_f$ bezgl. dieser Basen an.
+
+\item Bestimmen Sie den Rang $rg(f)$ der Abbildung f.
+\item Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Formel, die sie explizit angeben sollen, mit Hilfe des Ranges $rg(f)$ die Dimension $k = dim(Ker(f))$ des Kerns $Ker(f)$ der Abbildung f.
+\item Ist f eine birektive lineare Abbildung? Begründen Sie kurz.
+
+\end{enumerate} %ende Aufgabe 3
+\newpage
+\section{Aufgabe, Punkte(8+6+6)}
+Matrizenalgebra\\
+
+\begin{enumerate}
+\item Gegeben: 
+ $A=\begin{pmatrix}
+0 & -1 & 0 & 2\\
+0 & 0 & 1 & 0\\
+0 & 1 & 0 & 1 
+\end{pmatrix}$
+
+\begin{enumerate}
+\item Wie lautet die transponierte Matix $A^{t}$ zu A?
+\item Geben Sie den Rang $rg(A^{t})$ von $A^{t}$ an.
+\end{enumerate}
+
+\item Es sei: 
+$A=\begin{pmatrix}
+4 & 1 \\
+3 & 2
+\end{pmatrix}
+B=\begin{pmatrix}
+2 & 3 & 0 & 1\\
+1 & -5 & 6 & 0
+\end{pmatrix}$
+
+\begin{enumerate}
+\item Berechnen Sie das Element $C_{23}$ des Matrixprodukts $C=A*B$
+\item Geben Sie die Dimensionsvariablen $n,m$ der Produkt Matrix\\ $C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ an.
+
+\item Es sei $A=\begin{pmatrix}
+1 & 0 & 0\\
+1 & 1 & 0 \\
+-2 & 1 & 1
+\end{pmatrix}$ \\\\
+Berechnen Sie die inverse Matrix $C=A^{-1}$ zu $A$.
+
+\end{enumerate}
+
+\end{enumerate} %ende Aufgabe 4
+
+\section{Aufgabe, Punkte(4 + 8 + 8)}
+Lineare Abbildungen und Eigenwerte.
+
+\begin{enumerate}
+\item Es seien feste Basen der reelwertigen Vektorraum $V = \mathbb{R}^{k}$ und $W=\mathbb{R}^{m}$ gewählt und \\
+$A_{f}\begin{pmatrix}
+2 & 4 & -2 & 1 & 0 \\
+-2 & -5 & 7 & 3 & 1\\
+3 & 7 & -8 & 6 & 0
+\end{pmatrix}$\\
+sei die der linearen Abbildung $f: V\to W$ zugeordnete Matrix.\\
+Geben Sie die Dimensionen $k, m \in \mathbb{N}$ der zugrunde liegenden Vektorräume an.
+
+\item Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix durch andwendung einern geeigneten Laplace Entwicklung.
+
+$A=\begin{pmatrix}
+2 & 0 & 0 & 0 \\
+1 & 1 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0,7 & 0\\
+0 & 0 & 0,3 & 1
+\end{pmatrix}$
+
+\item Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \in \mathbb{R}$ der folgenden Matrix.
+
+$A=\begin{pmatrix}
+0,1 & 0 & 0\\
+0 & 0 & 0 \\
+0,9 & 1 & 0 
+\end{pmatrix}$
+
+\end{enumerate} %ende Aufgabe 5
+\end{document}