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5aed26bad2
335
WiMa-B-02a Wirtschaftsmathematik 2/SS17 WiMa-B-02a.tex
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335
WiMa-B-02a Wirtschaftsmathematik 2/SS17 WiMa-B-02a.tex
Normal file
@ -0,0 +1,335 @@
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\input{../settings/settings}
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\begin{document}
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\klausur{WiMa-B-02a Wirtschatfsmathematik II}
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{Prof. Dr. Christian Aßmann}
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{Sommersemester 17}
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{90}
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{Taschenrechner, Formelsammlung, Handbeschriebenes DIN A4 Blatt (beidseitig)}
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Aufgabe 1 (5 Punkte)}\\
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Berechnung Sie das Skalarprodukt $x' \cdot y$ für die Vektoren\\
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% pmatrix requires amsmath package
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$ x =
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\begin{pmatrix}
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1 \\
|
||||
2 \\
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3
|
||||
\end{pmatrix}
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$
|
||||
und
|
||||
$ y =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 \\
|
||||
2 \\
|
||||
4
|
||||
\end{pmatrix}
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$\\
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\begin{enumerate}
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\item $x' \cdot y = 13$.
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\item $x' \cdot y = 14$.
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\item $x' \cdot y = 15$.
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||||
\item $x' \cdot y = 16$.
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\item $x' \cdot y = 17$.
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Aufgabe 2 (5 Punkte)}\\
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Berechnen Sie $x \cdot y'$ für Vektoren\\
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$ x =
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\begin{pmatrix}
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||||
1 \\
|
||||
2 \\
|
||||
3
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$
|
||||
und
|
||||
$ y =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 \\
|
||||
2 \\
|
||||
4
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$\\
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\begin{enumerate}
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||||
\item
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||||
$ x \cdot y' =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1&2 \\
|
||||
2&4
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$
|
||||
\item
|
||||
$ x \cdot y' =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1&2&4 \\
|
||||
2&4&8 \\
|
||||
3&6&12
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$
|
||||
\item
|
||||
$ x \cdot y' =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1&2&3 \\
|
||||
2&4&6 \\
|
||||
4&6&9
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$
|
||||
\item
|
||||
$ x \cdot y' =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1&3&4 \\
|
||||
3&2&6 \\
|
||||
4&6&16
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$
|
||||
\item
|
||||
$ x \cdot y' =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1&4&4 \\
|
||||
2&4&4 \\
|
||||
6&4&16
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
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\newpage
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\item \textbf{Aufgabe 3 (6 Punkte)}\\
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Berechnen Sie das Integral
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$$ A = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \ln(4x^2)dx. $$
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\begin{enumerate}
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||||
\item $A = 0,2863$.
|
||||
\item $A = 0,4201$.
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||||
\item $A = 0,3004$.
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||||
\item $A = 0,3863$.
|
||||
\item $A = 0,2003$.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\item \textbf{Aufgabe 4 (5 Punkte)}\\
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Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?
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\begin{enumerate}
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||||
\item Das Skalarprodukt ist ein Spezialfall des Matrizenprodukts.
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||||
\item Beim Matrizenprodukt $x \cdot y$ muss die Spaltenzahl von $x$ mit der Zeilenanzahl von $y$ übereinstimmen.
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||||
\item Das Matrizenprodukt ist nur für quadratische Matrizen definiert.
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||||
\item Wenn das Ergebnis eines Matrizenprodukts existiert, kann es immer in Form einer Matrix dargestellt werden.
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\item Beim Matrizenprodukt $x \cdot y$ muss die Zeilenanzahl von $x$ nicht mit der Spaltenanzahl von $y$ übereinstimmen.
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Aufgabe 5 (5 Punkte)}\\
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Berechnen Sie die Inverse $X^-1$ der Matrix
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$$ X =
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\begin{pmatrix}
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1&4 \\
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||||
2&5
|
||||
\end{pmatrix},
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$$
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sofern diese existiert und berechnen Sie die Summe der beiden Hauptdiagonalelemente der inversen Matrix, d.h. die Spur der inversen Matrix $tr(X^-1)$.
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\begin{enumerate}
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||||
\item $X^-1$ existiert nicht.
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\item $tr(X^-1) = -2$.
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||||
\item $tr(X^-1) = 2$.
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||||
\item $tr(X^-1) = 0$.
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||||
\item $tr(X^-1) = 1$.
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||||
\end{enumerate}
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\newpage
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\item \textbf{Aufgabe 6 (Punkte)}\\
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||||
Die drei Vektoren\\
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$ x =
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\begin{pmatrix}
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||||
1 \\
|
||||
2 \\
|
||||
3
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$
|
||||
,
|
||||
$ y =
|
||||
\begin{pmatrix}
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||||
-1 \\
|
||||
-3 \\
|
||||
-2
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$
|
||||
und
|
||||
$ z =
|
||||
\begin{pmatrix}
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||||
1 \\
|
||||
-2 \\
|
||||
7
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$\\
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sind linear abhängig. Wie lautet demnach eine Linearkombination für die gilt
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$$ ax + by + cz = 0 ?$$
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\begin{enumerate}
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\item $a = 5, b = 4, c = -1$.
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||||
\item $a = 5, b = -4, c = -1$.
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||||
\item $a = 4, b = 5, c = 2$.
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||||
\item $a = -4, b = -5, c = 2$.
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||||
\item $a = -3, b = 4, c = -2$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
|
||||
\item \textbf{Aufgabe 7 (5 Punkte)}\\
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||||
Berechnen Sie $det(A)$ für
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$$ A =
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||||
\begin{pmatrix}
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||||
2&0&1&4 \\
|
||||
3&0&-4&-2 \\
|
||||
2&0&-1&0 \\
|
||||
11&8&-4&6 \\
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$$
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||||
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $det(A) = 94$.
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||||
\item $det(A) = 104$.
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||||
\item $det(A) = 96$.
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||||
\item $det(A) = 92$.
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||||
\item $det(A) = 88$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\newpage
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||||
\item \textbf{Aufgabe 8 (5 Punkte)}\\
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Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
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\begin{enumerate}
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||||
\item Der Nullvektor ist immer linear abhängig.
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\item Ein Vektor $x \in R^n$ ist genau dann linear unabhängig, wenn $x \neq 0$.
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||||
\item Zwei Vektoren im $R^n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen.
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||||
\item Drei Vektoren im $R^n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht auf einer Ebene liegen.
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||||
\item Die Einheitsvektoren $e_1,...,e_n \in R^n$ sind linear abhängig.
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||||
\end{enumerate}
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\item \textbf{Aufgabe 9 (6 Punkte)}\\
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||||
Welche der folgenden Operationen ist für\\
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||||
$ A =
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||||
\begin{pmatrix}
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||||
1&2&3 \\
|
||||
6&5&4 \\
|
||||
4&3&7
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$
|
||||
,
|
||||
$ B =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
5&-2&3 \\
|
||||
-1&2&9 \\
|
||||
1&-2&-9
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$
|
||||
und
|
||||
$ C =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
4&5 \\
|
||||
1&3 \\
|
||||
2&7
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$\\
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||||
|
||||
definiert?
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\begin{enumerate}
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||||
\item $(A' + B)\,C$.
|
||||
\item $(A' + B)\,C'$.
|
||||
\item $(A + B)\,C'$.
|
||||
\item $BC'$.
|
||||
\item $B^{-1} C$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
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||||
\item \textbf{Aufgabe 10 (? Punkte)}\\
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||||
Wie lauten die Eigenwerte der Matrix\\
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||||
$ A =
|
||||
\begin{pmatrix}
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||||
2&-2&3 \\
|
||||
0&3&-2 \\
|
||||
0&-1&2
|
||||
\end{pmatrix}?
|
||||
$\\
|
||||
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\begin{enumerate}
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||||
\item $\lambda_{1} = 1, \lambda_{2} = 4, \lambda_{3} = 7$.
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||||
\item $\lambda_{1} = 3, \lambda_{2} = 5, \lambda_{3} = 1$.
|
||||
\item $\lambda_{1} = 2, \lambda_{2} = 4, \lambda_{3} = 6$.
|
||||
\item $\lambda_{1} = 2, \lambda_{2} = 3, \lambda_{3} = 7$.
|
||||
\item $\lambda_{1} = 2, \lambda_{2} = 4, \lambda_{3} = 1$.
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||||
\end{enumerate}
|
||||
|
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\newpage
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\item \textbf{Aufgabe 11 (6 Punkte)}\\
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Ein Verleger produziert ein neues Buch in drei Varianten, als Taschenbuch ($T$), als Deluxe-Ausgabe ($D$) und als Buchclub-Ausgabe ($B$). Die Produktion eines Taschenbuchs erfordert 1 Minute Heften ($H$) und 2 Minuten Leimen ($L$), eine Deluxe-Ausgabe 3 Minuten Heften und 5 Minuten Leimen und eine Buchclub-Ausgabe 2 Minuten Heften und 4 Minuten Leimen. Die Heftmaschine ist täglich 360 Minuten frei, die Leimmaschine täglich 660 Minuten. Das Produktionsproblem des Verlegers kann damit als inhomogenes lineares Gleichungssystem
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||||
\begin{equation*}
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||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 3 & 2 \\
|
||||
2 & 5 & 4
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
T \\
|
||||
D \\
|
||||
B \\
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
360 \\
|
||||
660 \\
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\end{equation*}
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||||
dargestellt werden. Wie lautet die allgemeine Lösungsmenge $L$? Beachten Sie, dass nur positive Anzahlen produzierter Bücher ökonomisch sinnvoll sind.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $L=\left\{\begin{pmatrix}
|
||||
T \\ D \\ B \\
|
||||
\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}
|
||||
T \\ D \\ B \\
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
180 \\ 60 \\ 0
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
+r \begin{pmatrix}
|
||||
-2 \\ 0 \\ 1 \\
|
||||
\end{pmatrix},\ r \in [0,90]\right\}$
|
||||
\item $L=\{\} $
|
||||
\item $L=\left\{\begin{pmatrix}
|
||||
T \\ D \\ B \\
|
||||
\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}
|
||||
T \\ D \\ B \\
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
180 \\ 60 \\ 120
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
+r \begin{pmatrix}
|
||||
-2 \\ -1 \\ 1 \\
|
||||
\end{pmatrix},\ r \in [0,90]\right\}$
|
||||
\item $L=\begin{pmatrix}
|
||||
T \\ D \\ B \\
|
||||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
|
||||
120 \\ 180 \\ 60 \\
|
||||
\end{pmatrix}$
|
||||
\item $L=\left\{\begin{pmatrix}
|
||||
T \\ D \\ B \\
|
||||
\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}
|
||||
T \\ D \\ B \\
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
180 \\ 60 \\ 0
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
+r \begin{pmatrix}
|
||||
-2 \\ 0 \\ 1 \\
|
||||
\end{pmatrix},\ r \in [-10,90]\right\}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{document}
|
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