llerbs/klausuren-allgemein
1
0
Fork 0
forked from klausuren/klausuren-allgemein
Code Issues Pull Requests Releases Wiki Activity

Merge branch 'master' of https://git.wiai.de/klausuren/klausuren-allgemein

Browse Source
This commit is contained in:
Lamprecht 2018-05-29 08:24:30 +02:00
commit 948838ac54
3 changed files with 918 additions and 0 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

154
WiMa-B-01a/WS17 WiMa-B-01a.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,154 @@
\input{../settings/settings}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\begin{document}
\klausur{WiMa-B-01a Wirtschaftsmathematik 1}
{Prof. Dr. Christian Aßmann}
{Wintersemester 17/18}
{60}
{Taschenrechner, Formelsammlung, 1 handbeschriebenes DIN-A-4-Blatt}
\begin{enumerate}
\item Aufgabe 1 (5 Punkte)\\
Geben sie die Lösungsmenge der Gleichung
\begin{equation*}
| x- 3 | = 2
\end{equation*}
an.
\begin{enumerate}
\item $L={x|x<3} $
\item $L=\{\} $
\item $L={1;5} $
\item $L={x|x>3} $
\item $L={x|x<1} $
\end{enumerate}
\item Aufgabe 2 (6 Punkte)\\
Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
\begin{enumerate}
\item Sei $f(x)=log_a(x)$. Dann gilt $f'(x)=\frac{1}{x\ln a}$ mit $a>0$ und $a\neq1$.
\item Sei $h(x)=exp\{g(x)\}$. Dann gilt $h'(x)=g'(x)exp\{g(x)\}$.
\item $\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h-f(x)}{h} = f'(x)$, sofern der Grenzwert existiert.
\item Sei $ g(x) = f(x) + c $ für $c \in \mathbb{R}$. Dann gilt $g'(x) = f'(x)+c$.
\item Sei $ f(x)=\ln x $. Dann gilt $f'(x)=\frac{1}{x}$.
\end{enumerate}
\item Aufgabe 3 (6 Punkte)\\
Geben sie den natürlichen Definitionsbereich $D_f$ der Funktion
\begin{equation*}
f(x) = \ln(a-x)
\end{equation*}
für $a > 0$ an.
\begin{enumerate}
\item $D_f=\{\}$.
\item $D_f=\{x|x<0\}$.
\item $D_f=\{x|x<a\}$.
\item $D_f=\{0\}$.
\item $D_f=\{x|x>a\}$.
\end{enumerate}
\item Aufgabe 4 (5 Punkte)\\
Seien $x_1,x_2,\dots, x_n \in \mathbb{R}$ fest gegeben. Wie lautet die Minimalstelle $y_{min}$ der Funktion
\begin{equation*}
f(y)=\sum_{i=1}^{n}(x_1-y)^2\mathrm{?}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item $y_{min}=0$.
\item $y_{min}=x_n-x_1$.
\item $y_{min}=x_1$.
\item $y_{min}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.
\item $y_{min}=\sum_{i=1}^{n}x_i$.
\end{enumerate}
\item Aufgabe 5 (5 Punkte)\\
Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion
\begin{equation*}
f(x)=(1+e^{-2x})^{-3}
\end{equation*}
und berechnen Sie die Ableitung an der Stelle $x_0=1$.
\begin{enumerate}
\item $f'(x_0)=-0,3887$.
\item $f'(x_0)=0,3887$.
\item $f'(x_0)=0,4887$.
\item $f'(x_0)=0,5887$.
\item $f'(x_0)=-0,4887$.
\end{enumerate}
\item Aufgabe 6 (5 Punkte)\\
Wie lautet die Maximalstelle $x_{max}$ der Funktion
\begin{equation*}
f(x)=exp\{-\frac{1}{2}(x-\mu)^2\} \mathrm{?}
\end{equation*}
Welchen Wert nimmt die Funktion an der Maximalstelle an?
\begin{enumerate}
\item $x_{max}=\inf$, $f(x_{max}=0)$.\item $x_{max}=\mu$, $f(x_{max}=0)$.
\item $x_{max}=0$, $f(x_{max}=1)$.
\item $x_{max}=\mu$, $f(x_{max}=1)$.
\item $x_{max}=1$, $f(x_{max}=\mu)$.
\end{enumerate}
\item Aufgabe 7 (5 Punkte)\\
Sei $D_f\subset \mathbb{R}$ und $f : D_f \rightarrow \mathbb{R}$ zweimal differenzierbar in einer offenen Umgebung von $x_0 \in D_f$. Ferner sei $f(x_0)=0$. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
\begin{enumerate}
\item $f''(x)<0 \Rightarrow f$ hat ein striktes lokales Maximum in $x_0$.
\item $f''(x)>0 \Rightarrow f$ hat ein striktes lokales Minimum in $x_0$.
\item $f''(x)<0$ für alle $x \in D_f \Rightarrow f$ hat ein striktes globales Maximum in $x_0$.
\item $f''(x)>0$ für alle $x \in D_f \Rightarrow f$ hat ein striktes globales Minimum in $x_0$.
\item $x_0$ ist ein striktes lokales Minimum $\Rightarrow x_0$ ist auch ein striktes globales Minimum.
\end{enumerate}
\item Aufgabe 8 (5 Punkte)\\
Bestimmen sie den Grenzwert
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow \inf}1-\left[1-\frac{y}{c}\right]^n
\end{equation*}
für $0<y<c$.
\begin{enumerate}
\item $c$.
\item $0$.
\item $1$.
\item $\frac{1}{2}$.
\item $\frac{c}{2}$.
\end{enumerate}
\item Aufgabe 9 (6 Punkte)\\
Gegeben sei die Funktion
\begin{equation*}
f(x,y)=\frac{exp\{x+y\}}{1+exp\{x+y\}}
\end{equation*}
Bestimmen sie die partiellen Ableitungen $f'_x(x,y)$ und $f'_y(x,y)$ und berechnen sie diese an der stelle $(x_0, y_0) = (0,0)$.
\begin{enumerate}
\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(0,0)$.
\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(\frac{1}{4},\frac{1}{4})$.
\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(0,\frac{1}{2})$.
\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(1,\frac{1}{4})$.
\item $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0, y_0))=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.
\end{enumerate}
\item Aufgabe 10 (6 Punkte)\\
Welche der folgenden Umformungen ist falsch?
\begin{enumerate}
\item $x^4y^2z^3y^{-4}x^3z^5=z^8y^{-2}x^7$.
\item $e^{-\frac{1}{2}+x^2}=exp\{-\frac{1}{2}\}exp\{x^2\}$.
\item $\ln(x)-a\ln(x)+c\ln(x)=\ln\left(\frac{x^{c+1}}{y^a}\right)$.
\item $z^{p+1}\sqrt[p]{z}=z^{\frac{p^2+p+1}{p}}$.
\item $\frac{x^\frac{3}{4}}{2x^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2}$ mit $x>0$.
\end{enumerate}
\item Aufgabe 11 (6 Punkte)\\
Bestimmen Sie mit der Lagrangemethode die kritische Stelle der Kostenfunktion
\begin{equation*}
K : \mathbb{R}^2_+ \rightarrow \mathbb{R}, \quad K(x,y)=x^2-y^2
\end{equation*}
unter der Nebenbedingung
\begin{equation*}
g: \mathbb{R}^2_+ \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x,y)=x^3+y^3-16=0.
\end{equation*}
Die hinreichenden Bedingungen müssen nicht geprüft werden.
\begin{enumerate}
\item Kritische Stelle $ (x,y)=(2,2)$.
\item Kritische Stelle $ (x,y)=(0,0)$.
\item Kritische Stelle $ (x,y)=(12,4)$.
\item Kritische Stelle $ (x,y)=(0,4)$.
\item Kritische Stelle $ (x,y)=(4,0)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}

335
WiMa-B-02a Wirtschaftsmathematik 2/SS17 WiMa-B-02a.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,335 @@
\input{../settings/settings}
\begin{document}
\klausur{WiMa-B-02a Wirtschatfsmathematik II}
{Prof. Dr. Christian Aßmann}
{Sommersemester 17}
{90}
{Taschenrechner, Formelsammlung, Handbeschriebenes DIN A4 Blatt (beidseitig)}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Aufgabe 1 (5 Punkte)}\\
Berechnung Sie das Skalarprodukt $x' \cdot y$ für die Vektoren\\
% pmatrix requires amsmath package
$ x =
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}
$
und
$ y =
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
4
\end{pmatrix}
$\\
\begin{enumerate}
\item $x' \cdot y = 13$.
\item $x' \cdot y = 14$.
\item $x' \cdot y = 15$.
\item $x' \cdot y = 16$.
\item $x' \cdot y = 17$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Aufgabe 2 (5 Punkte)}\\
Berechnen Sie $x \cdot y'$ für Vektoren\\
$ x =
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}
$
und
$ y =
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
4
\end{pmatrix}
$\\
\begin{enumerate}
\item
$ x \cdot y' =
\begin{pmatrix}
1&2 \\
2&4
\end{pmatrix}
$
\item
$ x \cdot y' =
\begin{pmatrix}
1&2&4 \\
2&4&8 \\
3&6&12
\end{pmatrix}
$
\item
$ x \cdot y' =
\begin{pmatrix}
1&2&3 \\
2&4&6 \\
4&6&9
\end{pmatrix}
$
\item
$ x \cdot y' =
\begin{pmatrix}
1&3&4 \\
3&2&6 \\
4&6&16
\end{pmatrix}
$
\item
$ x \cdot y' =
\begin{pmatrix}
1&4&4 \\
2&4&4 \\
6&4&16
\end{pmatrix}
$
\end{enumerate}
\newpage
\item \textbf{Aufgabe 3 (6 Punkte)}\\
Berechnen Sie das Integral
$$ A = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \ln(4x^2)dx. $$
\begin{enumerate}
\item $A = 0,2863$.
\item $A = 0,4201$.
\item $A = 0,3004$.
\item $A = 0,3863$.
\item $A = 0,2003$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Aufgabe 4 (5 Punkte)}\\
Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?
\begin{enumerate}
\item Das Skalarprodukt ist ein Spezialfall des Matrizenprodukts.
\item Beim Matrizenprodukt $x \cdot y$ muss die Spaltenzahl von $x$ mit der Zeilenanzahl von $y$ übereinstimmen.
\item Das Matrizenprodukt ist nur für quadratische Matrizen definiert.
\item Wenn das Ergebnis eines Matrizenprodukts existiert, kann es immer in Form einer Matrix dargestellt werden.
\item Beim Matrizenprodukt $x \cdot y$ muss die Zeilenanzahl von $x$ nicht mit der Spaltenanzahl von $y$ übereinstimmen.
\end{enumerate}
\item \textbf{Aufgabe 5 (5 Punkte)}\\
Berechnen Sie die Inverse $X^-1$ der Matrix
$$ X =
\begin{pmatrix}
1&4 \\
2&5
\end{pmatrix},
$$
sofern diese existiert und berechnen Sie die Summe der beiden Hauptdiagonalelemente der inversen Matrix, d.h. die Spur der inversen Matrix $tr(X^-1)$.
\begin{enumerate}
\item $X^-1$ existiert nicht.
\item $tr(X^-1) = -2$.
\item $tr(X^-1) = 2$.
\item $tr(X^-1) = 0$.
\item $tr(X^-1) = 1$.
\end{enumerate}
\newpage
\item \textbf{Aufgabe 6 (Punkte)}\\
Die drei Vektoren\\
$ x =
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}
$
,
$ y =
\begin{pmatrix}
-1 \\
-3 \\
-2
\end{pmatrix}
$
und
$ z =
\begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
7
\end{pmatrix}
$\\
sind linear abhängig. Wie lautet demnach eine Linearkombination für die gilt
$$ ax + by + cz = 0 ?$$
\begin{enumerate}
\item $a = 5, b = 4, c = -1$.
\item $a = 5, b = -4, c = -1$.
\item $a = 4, b = 5, c = 2$.
\item $a = -4, b = -5, c = 2$.
\item $a = -3, b = 4, c = -2$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Aufgabe 7 (5 Punkte)}\\
Berechnen Sie $det(A)$ für
$$ A =
\begin{pmatrix}
2&0&1&4 \\
3&0&-4&-2 \\
2&0&-1&0 \\
11&8&-4&6 \\
\end{pmatrix}
$$
\begin{enumerate}
\item $det(A) = 94$.
\item $det(A) = 104$.
\item $det(A) = 96$.
\item $det(A) = 92$.
\item $det(A) = 88$.
\end{enumerate}
\newpage
\item \textbf{Aufgabe 8 (5 Punkte)}\\
Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
\begin{enumerate}
\item Der Nullvektor ist immer linear abhängig.
\item Ein Vektor $x \in R^n$ ist genau dann linear unabhängig, wenn $x \neq 0$.
\item Zwei Vektoren im $R^n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen.
\item Drei Vektoren im $R^n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht auf einer Ebene liegen.
\item Die Einheitsvektoren $e_1,...,e_n \in R^n$ sind linear abhängig.
\end{enumerate}
\item \textbf{Aufgabe 9 (6 Punkte)}\\
Welche der folgenden Operationen ist für\\
$ A =
\begin{pmatrix}
1&2&3 \\
6&5&4 \\
4&3&7
\end{pmatrix}
$
,
$ B =
\begin{pmatrix}
5&-2&3 \\
-1&2&9 \\
1&-2&-9
\end{pmatrix}
$
und
$ C =
\begin{pmatrix}
4&5 \\
1&3 \\
2&7
\end{pmatrix}
$\\
definiert?
\begin{enumerate}
\item $(A' + B)\,C$.
\item $(A' + B)\,C'$.
\item $(A + B)\,C'$.
\item $BC'$.
\item $B^{-1} C$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Aufgabe 10 (? Punkte)}\\
Wie lauten die Eigenwerte der Matrix\\
$ A =
\begin{pmatrix}
2&-2&3 \\
0&3&-2 \\
0&-1&2
\end{pmatrix}?
$\\
\begin{enumerate}
\item $\lambda_{1} = 1, \lambda_{2} = 4, \lambda_{3} = 7$.
\item $\lambda_{1} = 3, \lambda_{2} = 5, \lambda_{3} = 1$.
\item $\lambda_{1} = 2, \lambda_{2} = 4, \lambda_{3} = 6$.
\item $\lambda_{1} = 2, \lambda_{2} = 3, \lambda_{3} = 7$.
\item $\lambda_{1} = 2, \lambda_{2} = 4, \lambda_{3} = 1$.
\end{enumerate}
\newpage
\item \textbf{Aufgabe 11 (6 Punkte)}\\
Ein Verleger produziert ein neues Buch in drei Varianten, als Taschenbuch ($T$), als Deluxe-Ausgabe ($D$) und als Buchclub-Ausgabe ($B$). Die Produktion eines Taschenbuchs erfordert 1 Minute Heften ($H$) und 2 Minuten Leimen ($L$), eine Deluxe-Ausgabe 3 Minuten Heften und 5 Minuten Leimen und eine Buchclub-Ausgabe 2 Minuten Heften und 4 Minuten Leimen. Die Heftmaschine ist täglich 360 Minuten frei, die Leimmaschine täglich 660 Minuten. Das Produktionsproblem des Verlegers kann damit als inhomogenes lineares Gleichungssystem
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
2 & 5 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
T \\
D \\
B \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
360 \\
660 \\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
dargestellt werden. Wie lautet die allgemeine Lösungsmenge $L$? Beachten Sie, dass nur positive Anzahlen produzierter Bücher ökonomisch sinnvoll sind.
\begin{enumerate}
\item $L=\left\{\begin{pmatrix}
T \\ D \\ B \\
\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}
T \\ D \\ B \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
180 \\ 60 \\ 0
\end{pmatrix}
+r \begin{pmatrix}
-2 \\ 0 \\ 1 \\
\end{pmatrix},\ r \in [0,90]\right\}$
\item $L=\{\} $
\item $L=\left\{\begin{pmatrix}
T \\ D \\ B \\
\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}
T \\ D \\ B \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
180 \\ 60 \\ 120
\end{pmatrix}
+r \begin{pmatrix}
-2 \\ -1 \\ 1 \\
\end{pmatrix},\ r \in [0,90]\right\}$
\item $L=\begin{pmatrix}
T \\ D \\ B \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
120 \\ 180 \\ 60 \\
\end{pmatrix}$
\item $L=\left\{\begin{pmatrix}
T \\ D \\ B \\
\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}
T \\ D \\ B \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
180 \\ 60 \\ 0
\end{pmatrix}
+r \begin{pmatrix}
-2 \\ 0 \\ 1 \\
\end{pmatrix},\ r \in [-10,90]\right\}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}

429
WiMa-B-02a Wirtschaftsmathematik 2/WS1718 WiMa-B-02a.tex Normal file
View File

@ -0,0 +1,429 @@
\input{../settings/settings}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\klausur{WiMa-B-02a Wirtschaftsmathematik 2}
{Prof. Dr. Christian Aßmann}
{Wintersemester 17/18}
{60}
{Taschenrechner, Formelsammlung, ein handbeschriebenes DIN A4 Blatt (beidseitig)}
\section*{Aufgabe 1 (4 Punkte)}
Bestimmen Sie, falls möglich, den Homogenitätsgrad der Funktion
\begin{equation*}
f: \mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}, \qquad f(x,y) = y \ln(2^{x})
\end{equation*}
\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
\item 0
\item 1
\item 2
\item $\ln(2)$
\item $f(x,y)$ ist nicht homogen
\end{enumerate}
\section*{Aufgabe 2 (4 Punkte)}
Die Funktion
\begin{equation*}
f(x) = \frac{x+2}{x-1},
\end{equation*}
\noindent
mit $x\neq 1$, besitzt an der Stelle $x_{0}=2$ die Tangente
\begin{equation*}
g(x) = -3x+10,
\end{equation*}
\noindent
was sie nicht zu prüfen brauchen.
Approximieren Sie den Funktionswert von $f(x)$ an der Stelle $x_{1}=3$ durch die Tangende
und geben Sie den absoluten Approximationsfehler $\delta f$ an.
\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
\item $\delta f = 3$
\item $\delta f = 0$
\item $\delta f = 1,5$
\item $\delta f = 3,5$
\item $\delta f= -1,5$
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Aufgabe 3 (6 Punkte)}
Bestimmen Sie für die Funktion
\begin{equation*}
f: = \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \qquad f(x)=\sqrt{x^{2}+1}
\end{equation*}
\noindent
das Taylorpolynom 2. Grades $T^{2}_{f}(x)$ mit der Entwicklungsstelle $x_{0}=0$.
\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
\item $1+\frac{1}{2}x^{2}$
\item $1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x^{2}$
\item $x+\frac{1}{2}x^{2}$
\item $1-\frac{1}{4}x^{2}$
\item $\frac{1}{2}x^{2}$
\end{enumerate}
\section*{Aufgabe 4 (5 Punkte)}
Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
\item Das Matrizenprodukt $A \cdot B$ ist definiert für zwei beliebige Matrizen
$A \in \mathcal{M}_{m,n}$ und $B \in \mathcal{M}_{r,s}$ mit $n=r$.
\item Der Nullvektor ist immer linear unabhängig.
\item Ist eine Matrix $\tilde{A}$ durch endlich viele elementare Zeilenumformungen aus
der Matrix $A$ entstanden, so besitzen $A$ und $\tilde{A}$ den gleichen Rang.
\item Eine Matrix $A \in \mathcal{M}_{n}$ ist invertierbar, wenn $rg(A)=n$ gilt.
\item Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems enthält immer den Nullpunkt.
\end{enumerate}
\section*{Aufgabe 5 (6 Punkte)}
Lösen Sie das bestimmte Integral
\begin{equation*}
\int^{b}_{1} x\ln(x)dx,
\end{equation*}
\noindent
mit $b>1$, mittels partieller Integration.
\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
\item $b\ln(b)-b+1$
\item $\frac{1}{2}b^{2}\ln(b)-\frac{1}{4}b^{2}+\frac{1}{4}$
\item $b-1$
\item $b\ln(b)$
\item $\frac{b^{2}-1}{2}\ln(b)$
\end{enumerate}
\section*{Aufgabe 6 (4 Punkte)}
Berechnen Sie
\begin{equation*}
(a+b)^{T}\cdot c
\end{equation*}
\noindent
für die Vektoren
\begin{equation*}
a=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
-2\\
\end{pmatrix}
, \qquad
b=
\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
3\\
\end{pmatrix}
, \qquad
c=
\begin{pmatrix}
8\\
5\\
2\\
\end{pmatrix}
.
\end{equation*}
\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
\item 13.
\item 14.
\item 15.
\item 16.
\item 17.
\end{enumerate}
\section*{Aufgabe 7 (5 Punkte)}
Seien die Matrizen
\begin{equation*}
A \in \mathcal{M}_{m,n}, B \in \mathcal{M}_{p,q} und C \in \mathcal{M}_{r,s}
\end{equation*}
\noindent
Welche Bedingungen müssen $m,n,p,q,r,s \in \mathbb{N}$ erfüllen, damit
\begin{equation*}
A \cdot (B+C^{T})
\end{equation*}
\noindent
definiert ist?
\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
\item $n=p=r$
\item $m=r$ und $p=q=s$
\item $n=p=s$ und $q=r$
\item $m=s$ und $p=q=r$
\item $m=p=s$ und $n=q=r$
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Aufgabe 8 (5 Punkte)}
Berechnen Sie die fehlenden Werte $\theta _{1}$ und $\theta _{2}$ in der Matrizenmultiplikation
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\theta _{1} & 3 & 5\\
2 & 4 & 6\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 4\\
2 & 5\\
3 & 6\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
20 & 41\\
28 & \theta _{2}\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
\item $\theta _{1}=20, \theta _{2}=36$
\item $\theta _{1}=1, \theta _{2}=60$
\item $\theta _{1}=12, \theta _{2}=51$
\item $\theta _{1}=1, \theta _{2}=36$
\item $\theta _{1}=-1, \theta _{2}=64$
\end{enumerate}
\section*{Aufgabe 9 (5 Punkte)}
Bestimmen Sie die Inverse $X^{-1}$ der Matrix
\begin{equation*}
X =
\begin{pmatrix}
2 & 4\\
-5 & \theta\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\noindent
in Abhängigkeit von $\theta$. Für welche Werte von $\theta$ existiert die Inverse der Matrix $X$?
Berechnen Sie auch die Summe der beiden Hauptdiagonalelemente der inversen Matrix, d.h. die Spur der inversen Matrix $tr(X^{-1})$.
\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
\item $\theta \neq 10, tr(X^{-1}) = \frac{2+\theta}{2\theta-20}$
\item $\theta \neq -10, tr(X^{-1}) = 2 + \theta$
\item $\theta \neq 5, tr(X^{-1}) = \frac{\theta}{\theta - 5}$
\item $\theta \neq -10, tr(X^{-1}) = \frac{2 + \theta}{2\theta + 20}$
\item $\theta \neq -5, tr(X^{-1}) = \frac{\theta - 3}{2\theta + 10}$
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Aufgabe 10 (6 Punkte)}
Wie lautet die allgemeine Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems?
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 & 0\\
0 & 3 & -3 & 3\\
1 & 2 & 3 & -1\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
6\\
-2\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
\item $\mathbb{L} = \theta$
\item $\mathbb{L} =
\left\{
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}\\
\end{pmatrix}
\vert
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-6\\
2\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}
+r_{1}\cdot
\begin{pmatrix}
-5\\
1\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}
+r_{2}\cdot
\begin{pmatrix}
3\\
-1\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}
; \quad r_{1},2_{2} \in \mathbb{R}
\right\}
$
\item $\mathbb{L} =
\left\{
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-6\\
2\\
4\\
-2\\
\end{pmatrix}
\right\}
$
\item $\mathbb{L} =
\left\{
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}\\
\end{pmatrix}
\vert
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6\\
-2\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}
+r_{1}\cdot
\begin{pmatrix}
5\\
-1\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}
+r_{2}\cdot
\begin{pmatrix}
-3\\
1\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}
; \quad r_{1},2_{2} \in \mathbb{R}
\right\}
$
\item $\mathbb{L} =
\left\{
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}\\
\end{pmatrix}
\vert
\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-6\\
2\\
-2\\
0\\
\end{pmatrix}
+r \cdot
\begin{pmatrix}
-5\\
3\\
1\\
1\\
\end{pmatrix}
; \quad r_{1},2_{2} \in \mathbb{R}
\right\}
$
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Aufgabe 11 (5 Punkte)}
Die Matrix
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
besitzt die Determinante $det(A)=10$. Betrachten Sie die Matrix
\begin{equation*}
A^{*} =
\begin{pmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33}\\
\end{pmatrix}
,
\end{equation*}
die durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen aus $A$ und
Transponieren entstanden ist. Wie lautet die Determinante $det(A^{*})$.
\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
\item $det(A^{*})=-5$
\item $det(A^{*})=-20$
\item $det(A^{*})=10$
\item $det(A^{*})=20$
\item $det(A^{*})=\frac{1}{20}$
\end{enumerate}
\section*{Aufgabe 12 (5 Punkte)}
Wie lauten die Eigenwerte der Matrix
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
7 & 0 & 0\\
-1 & -3 & 0\\
2 & -4 & 5\\
\end{pmatrix}
?
\end{equation*}
\begin{enumerate}[label=\Alph*)]
\item $\lambda_{1}=-4,\lambda_{2}=4,\lambda_{3}=6$
\item $\lambda_{1}=3,\lambda_{2}=-5,\lambda_{3}=-7$
\item $\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=4,\lambda_{3}=2$
\item $\lambda_{1}=-3,\lambda_{2}=5,\lambda_{3}=7$
\item $\lambda_{1}=2,\lambda_{2}=3,\lambda_{3}=0$
\end{enumerate}
\end{document}
% \image{1}{Capture3.PNG}{DNS-Anfrage}{DNS-Anfrage}